實(shí)際工作中，變量間未必都有線性關(guān)系，如服藥后血藥濃度與時(shí)間的關(guān)系；疾病療效與療程長(zhǎng)短的關(guān)系；毒物劑量與致死率的關(guān)系等常呈曲線關(guān)系。曲線擬合（curve fitting）是指選擇適當(dāng)?shù)那€類型來(lái)擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關(guān)系。

簡(jiǎn)介

用連續(xù)曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點(diǎn)組所表示的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系的一種數(shù)據(jù)處理方法。用解析表達(dá)式逼近離散數(shù)據(jù)的一種方法。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或社會(huì)活動(dòng)中，通過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到量x與y的一組數(shù)據(jù)對(duì) - xi，yi - i=1，2，…m，其中各xi是彼此不同的。

人們希望用一類與數(shù)據(jù)的背景材料規(guī)律相適應(yīng)的解析表達(dá)式，y=f - x，c來(lái)反映量x與y之間的依賴關(guān)系，即在一定意義下"最佳"地逼近或擬合已知數(shù)據(jù)。f - x，c常稱作擬合模型，式中c= - c1，c2，…cn是一些待定參數(shù)。當(dāng)c在f中線性出現(xiàn)時(shí)，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。

有許多衡量擬合優(yōu)度的標(biāo)準(zhǔn)，最常用的一種做法是選擇參數(shù)c使得擬合模型與實(shí)際觀測(cè)值在各點(diǎn)的殘差 - 或離差ek=yk-f - xk，c的加權(quán)平方和達(dá)到最小，此時(shí)所求曲線稱作在加權(quán)最小二乘意義下對(duì)數(shù)據(jù)的擬合曲線。有許多求解擬合曲線的成功方法，對(duì)于線性模型一般通 過(guò)建立和求解方程組來(lái)確定參數(shù)，從而求得擬合曲線。

至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優(yōu)化方法求得所需參數(shù)才能得到擬合曲線，有時(shí)稱之為非線性最小二乘擬合。曲線擬合:貝塞爾曲線與路徑轉(zhuǎn)化時(shí)的誤差。值越大，誤差越大;值越小，越精確。

常用函數(shù)

指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù) - exponential function的標(biāo)準(zhǔn)式形式為：Y=aebX - 12.29對(duì)式（12.29）兩邊取對(duì)數(shù)，得lnY=lna+bX

b>0時(shí)，Y隨X增大而增大；b<0時(shí)，Y隨X增大而減少。當(dāng)以lnY和X繪制的散點(diǎn)圖呈直線趨勢(shì)時(shí)，可考慮采用指數(shù)函數(shù)來(lái)描述Y與X間的非線性關(guān)系，lna和b分別為截距和斜率。

更一般的指數(shù)函數(shù)：Y=aebX+k，式中k為一常量，往往未知,應(yīng)用時(shí)可試用不同的值。

對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)（lograrithmic function）的標(biāo)準(zhǔn)式形式為：Y=a+blnX， - X>0，b>0時(shí)，Y隨X增大而增大，先快后慢；b<0時(shí)，Y隨X增大而減少，先快后慢，見圖12.4 - c、 - d。當(dāng)以Y和lnX繪制的散點(diǎn)圖呈直線趨勢(shì)時(shí)，可考慮采用對(duì)數(shù)函數(shù)描述Y與X之間的非線性關(guān)系，式中的b和a分別為斜率和截距。

更一般的對(duì)數(shù)函數(shù)：Y=a+bln - X+k，式中k為一常量，往往未知。 - alnY=lna+bX - blnY=lna-bX - cY=a+blnX - dY=a-blnX

冪函數(shù)

冪函數(shù)（power function）的標(biāo)準(zhǔn)式形式為：Y=aXb - a>0,X>0，式中b>0時(shí)，Y隨X增大而增大；b<0時(shí)，Y隨X增大而減少。對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得lnY=lna+blnX所以，當(dāng)以lnY和lnX繪制的散點(diǎn)圖呈直線趨勢(shì)時(shí)，可考慮采用冪函數(shù)來(lái)描述Y和X間的非線性關(guān)系，lna和b分別是截距和斜率。

更一般的冪函數(shù)：Y=aXb+k，式中k為一常量，往往未知。

步驟

1、繪制散點(diǎn)圖，選擇合適的曲線類型，一般根據(jù)資料性質(zhì)結(jié)合專業(yè)知識(shí)便可確定資料的曲線類型，不能確定時(shí)，可在方格坐標(biāo)紙上繪制散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)的分布，選擇接近的、合適的曲線類型。

2、進(jìn)行變量變換：Y’=f - Y,X’=g - X，使變換后的兩個(gè)變量呈直線關(guān)系。

3、按最小二乘法原理求線性方程和方差分析

4、將直線化方程轉(zhuǎn)換為關(guān)于原變量X、Y的函數(shù)表達(dá)式

應(yīng)用

重力波參數(shù)氣候特征是確定大氣模式中重力波參數(shù)化方案的重要條件之一，高垂直分辨率探空資料擾動(dòng)場(chǎng)是獲取重力波參數(shù)氣候特征的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);目前,獲取擾動(dòng)場(chǎng)的方法較多，但基于不同方法計(jì)算的擾動(dòng)場(chǎng)對(duì)重力波參數(shù)氣候特征影響的研究較少。

基于2014—2017年山西太原氣象臺(tái)高垂直分辨率探空資料，利用2—4階曲線擬合方法獲取下平流層 - 17—24km高度溫度擾動(dòng)場(chǎng)、緯向風(fēng)擾動(dòng)場(chǎng)和經(jīng)向風(fēng)擾動(dòng)場(chǎng),經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)2階與3階曲線擬合方法的擾動(dòng)場(chǎng)相似程度較高；在此選取相似度較高的2階、3階曲線擬合方法的擾動(dòng)場(chǎng)分別計(jì)算大氣重力波參數(shù)，并對(duì)大氣重力波參數(shù)間的氣候差異特征進(jìn)行研究。

結(jié)果表明： - 1不同階曲線擬合方法擾動(dòng)場(chǎng)的變化振幅及隨高度變化趨勢(shì)存在差異，且擾動(dòng)場(chǎng)間的相關(guān)較弱; - 22階、3階曲線擬合方法擾動(dòng)場(chǎng)得到的重力波參數(shù)大小、年內(nèi)變化趨勢(shì)及在不同區(qū)間范圍內(nèi)占有率均存在差異，且相關(guān)較弱; - 31—12月，相對(duì)3階曲線擬合方法的擾動(dòng)場(chǎng)，基于2階曲線擬合方法的擾動(dòng)場(chǎng)得到的重力波群速、水平波長(zhǎng)、垂直波長(zhǎng)、周期、固有相速均較大，而重力波能量上傳百分比在某些月份較大。

因此,不同階曲線擬合方法擾動(dòng)場(chǎng)間存在差異,會(huì)導(dǎo)致計(jì)算得到的大氣重力波參數(shù)氣候特征存在差異,最終對(duì)研制大氣模式中的大氣重力波參數(shù)化方案產(chǎn)生影響。