抽象代數(shù)（Abstractalgebra）又稱近世代數(shù)（Modernalgebra），它產(chǎn)生于十九世紀(jì)。伽羅瓦〔1811-1832〕在1832年運用「群」的概念徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性問題。他是第一個提出「群」的概念的數(shù)學(xué)家，一般稱他為近世代數(shù)創(chuàng)始人。他使代數(shù)學(xué)由作為解方程的科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯看鷶?shù)運算結(jié)構(gòu)的科學(xué)，即把代數(shù)學(xué)由初等代數(shù)時期推向抽象代數(shù)。抽象代數(shù)包含群論、環(huán)論、伽羅瓦理論、格論、線性代數(shù)等許多分支，并與數(shù)學(xué)其它分支相結(jié)合產(chǎn)生了代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)?、拓?fù)淙旱刃碌臄?shù)學(xué)學(xué)科。抽象代數(shù)也是現(xiàn)代計算機理論基礎(chǔ)之一。

基本簡介

抽象代數(shù)作為數(shù)學(xué)的一門學(xué)科，主要研究對象是代數(shù)結(jié)構(gòu)，比如群、環(huán)、域、模、矢量空間和代數(shù)。這些代數(shù)結(jié)構(gòu)中，有的在19世紀(jì)就已經(jīng)被給出了正式的定義。事實上，對抽象代數(shù)的研究是應(yīng)數(shù)學(xué)更嚴(yán)格化的要求而發(fā)展起來的。對抽象代數(shù)的研究還使人們形成了對全部數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的基礎(chǔ)性邏輯假設(shè)的整體認(rèn)識，現(xiàn)今，幾乎沒有那一個數(shù)學(xué)分支用不到代數(shù)學(xué)的結(jié)論。此外，隨著抽象代數(shù)的發(fā)展，代數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：明顯不同的邏輯結(jié)構(gòu)通過類比可以得到一個很簡練的由公理構(gòu)成的核心。這對深入研究代數(shù)的數(shù)學(xué)家是有益的，并賦予他們更大的本領(lǐng)。

創(chuàng)始人

被譽為天才數(shù)學(xué)家的Galois - 1811-1832）是近世代數(shù)的創(chuàng)始人之一。他深入研究了一個方程能用根式求解所必須滿足的本質(zhì)條件，他提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois理論”都是近世代數(shù)所研究的最重要的課題。Galois群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數(shù)學(xué)家們長達數(shù)百年之久的問題。Galois群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規(guī)作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。

1843年，Hamilton發(fā)明了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。第二年，Grassmann推演出更有一般性的幾類代數(shù)。1857年，Cayley設(shè)計出另一種不可交換的代數(shù)——矩陣代數(shù)。他們的研究打開了抽象代數(shù)的大門。實際上，減弱或刪去普通代數(shù)的某些假定，或?qū)⒛承┘俣ù詣e的假定 - 與其余假定是兼容的，就能研究出許多種代數(shù)體系。

1870年，Kronecker給出了有限Abel群的抽象定義；Dedekind開始使用“體”的說法，并研究了代數(shù)體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開了體的一般抽象理論；Dedekind和Kronecker創(chuàng)立了環(huán)論；1910年，施坦尼茨總結(jié)了包括群、代數(shù)、域等在內(nèi)的代數(shù)體系的研究，開創(chuàng)了抽象代數(shù)學(xué)。

奠基人

有一位杰出女?dāng)?shù)學(xué)家被公認(rèn)為抽象代數(shù)奠基人之一，被譽為"代數(shù)女皇"，她就是EmmyNoether,1882年3月23日生于德國埃爾朗根，1900年入埃朗根大學(xué)，1907年在數(shù)學(xué)家哥爾丹指導(dǎo)下獲博士學(xué)位。Noether的工作在代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何的發(fā)展中有重要影響。1907-1919年，她主要研究代數(shù)不變式及微分不變式。她在博士論文中給出三元四次型的不變式的完全組。還解決了有理函數(shù)域的有限有理基的存在問題。對有限群的不變式具有有限基給出一個構(gòu)造性證明。

Noether的這套理論也就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“環(huán)”和“理想”的系統(tǒng)理論，一般認(rèn)為抽象代數(shù)形式的時間就是1926年，從此代數(shù)學(xué)研究對象從研究代數(shù)方程根的計算與分布，進入到研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運算規(guī)律和各種代數(shù)結(jié)構(gòu)，完成了古典代數(shù)到抽象代數(shù)的本質(zhì)的轉(zhuǎn)變。Noether當(dāng)之無愧地被人們譽為抽象代數(shù)的奠基人之一。1927－1935年，Noether研究非交換代數(shù)與非交換算術(shù)。她把表示理論、理想理論及模理論統(tǒng)一在所謂“超復(fù)系”即代數(shù)的基礎(chǔ)上。后又引進交叉積的概念并用決定有限維Galois擴張的布饒爾群。最后導(dǎo)致代數(shù)的主定理的證明，代數(shù)數(shù)域上的中心可除代數(shù)是循環(huán)代數(shù)。

發(fā)展歷史

被譽為天才數(shù)學(xué)家的伽羅瓦（1811-1832）是近世代數(shù)的創(chuàng)始人之一。他深入研究了一個方程能用根式求解所必須滿足的本質(zhì)條件，他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”都是近世代數(shù)所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。1920~1927年間她主要研究交換代數(shù)與「交換算術(shù)」。1916年后，她開始由古典代數(shù)學(xué)向抽象代數(shù)學(xué)過渡。1920年，她已引入「左?！?、「右?！沟母拍?。建立了交換諾特環(huán)理論，給戴德金環(huán)一個公理刻畫，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。諾特的這套理論也就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“環(huán)”和“理想”的系統(tǒng)理論。

1930年，畢爾霍夫建立格論，它源于1847年的布爾代數(shù)；第二次世界大戰(zhàn)后，出現(xiàn)了各種代數(shù)系統(tǒng)的理論和布爾巴基學(xué)派；1955年，嘉當(dāng)、格洛辛狄克和愛倫伯克建立了同調(diào)代數(shù)理論。

數(shù)學(xué)家們已經(jīng)研究過200多種這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中最主要德若當(dāng)代數(shù)和李代數(shù)是不服從結(jié)合律的代數(shù)的例子。這些工作的絕大部分屬于20世紀(jì)，它們使一般化和抽象化的思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中得到了充分的反映。

中國數(shù)學(xué)家在抽象代數(shù)學(xué)的研究始于30年代。當(dāng)中已在許多方面取得了有意義和重要的成果，其中尤以曾炯之、華羅庚和周煒良的工作更為顯著。

為積極響應(yīng)國家“一帶一路”政策，中國數(shù)學(xué)會、北京國際數(shù)學(xué)研究中心和北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院聯(lián)合舉辦了“絲路數(shù)學(xué)中心系列會議——2018年現(xiàn)代代數(shù)幾何會議”?，F(xiàn)代代數(shù)幾何會議是絲路數(shù)學(xué)中心舉辦的第二次學(xué)術(shù)活動，邀請了17位專家、學(xué)者做大會報告，絲路數(shù)學(xué)中心成員數(shù)學(xué)會推薦的16位青年學(xué)者做海報展示。本次會議主要以現(xiàn)代視角討論雙有理幾何、導(dǎo)出范圍、?？臻g、奇點理論、解析方法的應(yīng)用、正特征幾何等代數(shù)幾何諸多方向的最新進展。