組合數(shù)學(xué)（combinatorialmathematics），又稱為離散數(shù)學(xué)。狹義的組合數(shù)學(xué)主要研究滿足一定條件的組態(tài)（也稱組合模型）的存在、計(jì)數(shù)以及構(gòu)造等方面問題。組合數(shù)學(xué)主要內(nèi)容有組合計(jì)數(shù)、組合設(shè)計(jì)、組合矩陣、組合優(yōu)化等。有時(shí)人們也把組合數(shù)學(xué)和圖論加在一起看作離散數(shù)學(xué)。組合數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后迅速發(fā)展起來的一門數(shù)學(xué)分支。計(jì)算機(jī)科學(xué)即算法的科學(xué)，而計(jì)算機(jī)所處理的對(duì)象是離散的數(shù)據(jù)，所以離散對(duì)象的處理就成了計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心，而研究離散對(duì)象的科學(xué)恰恰就是組合數(shù)學(xué)。組合數(shù)學(xué)的發(fā)展改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中分析和代數(shù)占統(tǒng)治地位的局面。

簡(jiǎn)介

現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以分為兩大類：一類是研究連續(xù)對(duì)象的，如分析、方程等，另一類就是研究離散對(duì)象的組合數(shù)學(xué)。組合數(shù)學(xué)不僅在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，在其它的學(xué)科中也有重要的應(yīng)用，如計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼學(xué)、物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中均有重要應(yīng)用。微積分和近代數(shù)學(xué)的發(fā)展為近代的工業(yè)革命奠定了基礎(chǔ)。而組合數(shù)學(xué)的發(fā)展則是奠定了本世紀(jì)的計(jì)算機(jī)革命的基礎(chǔ)。計(jì)算機(jī)之所以可以被稱為電腦，就是因?yàn)橛?jì)算機(jī)被人編寫了程序，而程序就是算法，在絕大多數(shù)情況下，計(jì)算機(jī)的算法是針對(duì)離散的對(duì)象，而不是在作數(shù)值計(jì)算。正是因?yàn)橛辛私M合算法才使人感到，計(jì)算機(jī)好像是有思維的。

組合數(shù)學(xué)不僅在軟件技術(shù)中有重要的應(yīng)用價(jià)值，在企業(yè)管理，交通規(guī)劃，戰(zhàn)爭(zhēng)指揮，金融分析等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。在美國(guó)有一家用組合數(shù)學(xué)命名的公司，他們用組合數(shù)學(xué)的方法來提高企業(yè)管理的效益，這家公司辦得非常成功。此外，試驗(yàn)設(shè)計(jì)也是具有很大應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科，它的數(shù)學(xué)原理就是組合設(shè)計(jì)。用組合設(shè)計(jì)的方法解決工業(yè)界中的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題，在美國(guó)已有專門的公司開發(fā)這方面的軟件。

國(guó)外狀況

組合數(shù)學(xué)在國(guó)外早已成為十分重要的學(xué)科，甚至可以說是計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)。一些大公司，如IBM，AT&T都有全世界最強(qiáng)的組合研究中心。Microsoft的BillGates近來也在提倡和支持計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)研究。例如，Bell實(shí)驗(yàn)室的有關(guān)線性規(guī)劃算法的實(shí)現(xiàn)，以及有關(guān)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的算法，由于有明顯的商業(yè)價(jià)值，顯然是沒有對(duì)外公開的。美國(guó)已經(jīng)有一種趨勢(shì)，就是與新的算法有關(guān)的軟件是可以申請(qǐng)專利的。

如果照這種趨勢(shì)發(fā)展，世界各國(guó)對(duì)組合數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)算法的投入和競(jìng)爭(zhēng)必然日趨激烈。美國(guó)政府也成立了離散數(shù)學(xué)及理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中心DIMACS（與Princeton大學(xué)，Rutgers大學(xué)，AT&T聯(lián)合創(chuàng)辦的，設(shè)在Rutgers大學(xué)），該中心已是組合數(shù)學(xué)及理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要研究陣地。美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所（MathematicalSciencesResearchInstitute，由陳省身先生創(chuàng)立）在1997年選擇了組合數(shù)學(xué)作為研究專題，組織了為期一年的研究活動(dòng)。

日本的NEC公司還在美國(guó)的設(shè)立了研究中心，理論計(jì)算機(jī)科學(xué)和組合數(shù)學(xué)已是他們重要的研究課題，該中心主任R.Tarjan即是組合數(shù)學(xué)的權(quán)威。美國(guó)重要的國(guó)家實(shí)際室（LosAlamos國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，以造出第一顆原子彈著稱于世），從曼哈頓計(jì)劃以來一直重視應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究，包括組合數(shù)學(xué)的研究。不僅如此，該實(shí)驗(yàn)室最近還在積極充實(shí)組合數(shù)學(xué)方面的研究實(shí)力。美國(guó)另外一個(gè)重要的國(guó)家實(shí)驗(yàn)室Sandia國(guó)家實(shí)驗(yàn)室有一個(gè)專門研究組合數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的機(jī)構(gòu)，主要從事組合編碼理論和密碼學(xué)的研究，在美國(guó)政府以及國(guó)際學(xué)術(shù)界都具有很高的地位。

由于生物學(xué)中的DNA的結(jié)構(gòu)和生物現(xiàn)象與組合數(shù)學(xué)有密切的聯(lián)系，各國(guó)對(duì)生物信息學(xué)的研究都很重視，這也是組合數(shù)學(xué)可以發(fā)揮作用的一個(gè)重要領(lǐng)域。由于DNA就是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)序列結(jié)構(gòu)，美國(guó)科學(xué)院院士，近代組合數(shù)學(xué)的奠基人Rota教授預(yù)言，生物學(xué)中的組合問題將成為組合數(shù)學(xué)的一個(gè)前沿領(lǐng)域。

傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)算法可以分為兩大類，一類是組合算法，一類是數(shù)值算法（包括計(jì)算數(shù)學(xué)和與處理各種信息數(shù)據(jù)有關(guān)的信息學(xué)）。近年來計(jì)算機(jī)算法又多了一類：那就是符號(hào)計(jì)算算法。吳文俊院士開創(chuàng)的機(jī)器證明方法就屬于符號(hào)計(jì)算，引起了國(guó)際上的高度評(píng)價(jià)，被稱為吳方法。而國(guó)際上還有專門的符號(hào)計(jì)算雜志。

符號(hào)算法和吳方法跟代數(shù)組合學(xué)也有十分密切的聯(lián)系。組合數(shù)學(xué)，數(shù)值計(jì)算（包括計(jì)算數(shù)學(xué)，科學(xué)計(jì)算，非線性科學(xué)，和與處理各種信息數(shù)據(jù)有關(guān)的信息學(xué)）和統(tǒng)計(jì)學(xué)可能是應(yīng)用最廣的數(shù)學(xué)分支，而組合數(shù)學(xué)的價(jià)值甚至不亞于統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)值計(jì)算。由于數(shù)學(xué)機(jī)械化近年來的發(fā)展和在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要性，把數(shù)學(xué)機(jī)械化，科學(xué)計(jì)算和組合數(shù)學(xué)組合起來，就可以說是中國(guó)信息產(chǎn)業(yè)的基礎(chǔ)。組合數(shù)學(xué)家H.Wilf和D.Zeilberger1998因?yàn)樵诮M合恒等式的機(jī)械化證明方面的成果，獲得1998年美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的Steele獎(jiǎng)。

ThomsonScience公司創(chuàng)刊的一份電子刊物《離散數(shù)學(xué)和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)》即是一個(gè)很好的說明。它的內(nèi)容涉及離散數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的眾多方面。由于計(jì)算機(jī)軟件的促進(jìn)和需求，組合數(shù)學(xué)已成為一門既廣博又深?yuàn)W的學(xué)科，需要很深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，逐漸成為了數(shù)學(xué)的主流分支。

除上述以外，歐洲也在積極發(fā)展組合數(shù)學(xué)，英國(guó)、法國(guó)、德國(guó)、荷蘭、丹麥、奧地利、瑞典、意大利、西班牙等國(guó)家都建立了各種形式的組合數(shù)學(xué)研究中心。近幾年，南美國(guó)家也在積極推動(dòng)組合數(shù)學(xué)的研究。澳大利亞，新西蘭也組建了很強(qiáng)的組合數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)。值得一提的是亞洲的發(fā)達(dá)國(guó)家也十分重視組合數(shù)學(xué)的研究。日本有組合數(shù)學(xué)研究中心，并且從美國(guó)引進(jìn)人才，不僅支持日本國(guó)內(nèi)的研究，還出資支持美國(guó)的有關(guān)課題的研究，這樣使日本的組合數(shù)學(xué)這幾年的發(fā)展極為迅速。臺(tái)灣、香港兩地也從美國(guó)引進(jìn)人才，大力發(fā)展組合數(shù)學(xué)。新加坡，韓國(guó)，馬來西亞也在積極推動(dòng)組合數(shù)學(xué)的研究和人才培養(yǎng)。臺(tái)灣的數(shù)學(xué)研究中心也正在考慮把組合數(shù)學(xué)作為重點(diǎn)方向來發(fā)展。

花絮

四色問題

如果你仔細(xì)留心一張世界地圖，你會(huì)發(fā)現(xiàn)用一種顏色對(duì)一個(gè)國(guó)家著色，那么一共只需要四種顏色就能保證每?jī)蓚€(gè)相鄰的國(guó)家的顏色不同。這樣的著色效果能使每一個(gè)國(guó)家都能清楚地顯示出來。但要證明這個(gè)結(jié)論確是一個(gè)著名的世界難題，1976年數(shù)學(xué)家通過計(jì)算機(jī)運(yùn)算得到證明而成為四色定理，最近人們才發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更簡(jiǎn)單的證明。

中國(guó)郵差問題

由中國(guó)組合數(shù)學(xué)家管梅谷教授提出。郵遞員要穿過城市的每一條路至少一次，怎樣行走走過的路程最短？這是一個(gè)NP完全問題。由中國(guó)組合數(shù)學(xué)家管梅谷教授提出，著名組合數(shù)學(xué)家，J.Edmonds和他的合作者給出了一個(gè)解答。

任務(wù)分配問題（也稱婚配問題）

有一些員工要完成一些任務(wù)。各個(gè)員工完成不同任務(wù)所花費(fèi)的時(shí)間都不同。每個(gè)員工只分配一項(xiàng)任務(wù)。每項(xiàng)任務(wù)只被分配給一個(gè)員工。怎樣分配員工與任務(wù)以使所花費(fèi)的時(shí)間最少？

河洛圖

我國(guó)古代的河洛圖上記載了三階幻方，即把從一到九這九個(gè)數(shù)按三行三列的隊(duì)行排列，使得每行，每列，以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都是一十五。組合數(shù)學(xué)中有許多象幻方這樣精巧的結(jié)構(gòu)。1977年美國(guó)旅行者1號(hào)、2號(hào)宇宙飛船就帶上了幻方以作為人類智慧的信號(hào)。（題圖）

裝箱問題

當(dāng)你裝一個(gè)箱子時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)要使箱子盡可能裝滿不是一件很容易的事，你往往需要做些調(diào)整。從理論上講，裝箱問題是一個(gè)很難的組合數(shù)學(xué)問題，即使用計(jì)算機(jī)也是不容易解決的。

過河問題

在中小學(xué)的數(shù)學(xué)游戲中，有這樣一個(gè)問題，一個(gè)船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜運(yùn)過河。問題是當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能運(yùn)其中的一個(gè)。他怎樣才能把三者都運(yùn)過河呢？這就是一個(gè)很典型、很簡(jiǎn)單的組合數(shù)學(xué)問題。

是否存在穩(wěn)定婚姻的問題

假如能找到兩對(duì)夫婦（如張（男）–李（女）和趙（男）–王（女）），如果張（男）更喜歡王（女），而王（女）也更喜歡張（男），那么這樣就可能有潛在的不穩(wěn)定性。組合數(shù)學(xué)的方法可以找到一種婚姻的安排方法，使得沒有上述的不穩(wěn)定情況出現(xiàn)（當(dāng)然這只是理論上的結(jié)論）。這種組合數(shù)學(xué)的方法卻有一個(gè)實(shí)際的用途：美國(guó)的醫(yī)院在確定錄取住院醫(yī)生時(shí)，他們將考慮申請(qǐng)者的志愿的先后次序，同時(shí)也給申請(qǐng)排序。按這樣的次序考慮出的總的方案將沒有醫(yī)院和申請(qǐng)者兩者同時(shí)后悔的情況。實(shí)際上，高考學(xué)生的最后錄取方案也可以用這種方法。

管理調(diào)度問題

我們還會(huì)遇到更復(fù)雜的調(diào)度和安排問題。例如，在生產(chǎn)原子彈的曼哈頓計(jì)劃中，涉及到很多工序，許多人員的安排，很多元件的生產(chǎn)，怎樣安排各種人員的工作，以及各種工序間的銜接，從而使整個(gè)工期的時(shí)間盡可能短？這些都是組合數(shù)學(xué)典型例子。又比如，假日飯店的管理中，也嚴(yán)格規(guī)定了有關(guān)的工序，如清潔工的第一步是換什么，清洗什么，第二步又做什么，總之，他進(jìn)出房間的次數(shù)應(yīng)該最少。既然，這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的工作都需要講究工序，那么一個(gè)復(fù)雜的工程就更不用說了。

庫房和運(yùn)輸?shù)墓芾韱栴}

怎樣安排運(yùn)輸使得庫房充分發(fā)揮作用，進(jìn)一步來說，貨物放在什么地方最便于存取（如存儲(chǔ)時(shí)間短的應(yīng)該放在容易存取的地方）。

鋪地磚問題

我們知道，用形狀相同的方型磚塊可以把一個(gè)地面鋪滿（不考慮邊緣的情況），但是如果用不同形狀，而又非方型的磚塊來鋪一個(gè)地面，能否鋪滿呢？這不僅是一個(gè)與實(shí)際相關(guān)的問題，也涉及到很深的組合數(shù)學(xué)問題。

組合數(shù)學(xué)還可用于金融分析

◆組合數(shù)學(xué)還可用于金融分析，投資方案的確定，怎樣找出好的投資組合以降低投資風(fēng)險(xiǎn)。南開大學(xué)組合數(shù)學(xué)研究中心開發(fā)出了"金沙股市風(fēng)險(xiǎn)分析系統(tǒng)"現(xiàn)已投放市場(chǎng)，為短線投資者提供了有效的風(fēng)險(xiǎn)防范工具。

總之，組合數(shù)學(xué)無處不在，它的主要應(yīng)用就是在各種復(fù)雜關(guān)系中找出最優(yōu)的方案。所以組合數(shù)學(xué)完全可以看成是一門量化的關(guān)系學(xué)，一門量化了的運(yùn)籌學(xué)，一門量化了的管理學(xué)。

相關(guān)書籍《組合數(shù)學(xué)》

基本信息

內(nèi)容簡(jiǎn)介

本書是系統(tǒng)闡述組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、理論、方法和實(shí)例的優(yōu)秀教材，出版近30年來多次改版，被MIT、哥倫比亞大學(xué)、UIUC、威斯康星大學(xué)等眾多國(guó)外高校采用，對(duì)國(guó)內(nèi)外組合數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了較大影n向，也是相關(guān)學(xué)科的主要參考文獻(xiàn)之一。

本書側(cè)重于組合數(shù)學(xué)的概念和思想，包括鴿巢原理、計(jì)數(shù)技術(shù)、排列組合、Polya計(jì)數(shù)法、二項(xiàng)式系數(shù)、容斥原理、生成函數(shù)和遞推關(guān)系以及組合結(jié)構(gòu) - 匹配、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、圖等，深入淺出地表達(dá)了作者對(duì)該領(lǐng)域全面和深刻的理解，介紹了歷史上源于數(shù)學(xué)游戲和娛樂的大量實(shí)例，其中對(duì)Polya計(jì)數(shù)、Burnside定理等的完美處理使得不熟悉群論的學(xué)生也能夠讀懂。除包含第3版中的內(nèi)容外，本版又進(jìn)行了更新，增加了莫比烏斯反演 - 作為容斥原理的推廣、格路徑、Schroder數(shù)等內(nèi)容。此外，各章均包含大量練習(xí)題，并在書末給出了參考答案與提示。

圖書目錄

出版者的話

專家指導(dǎo)委員會(huì)

譯者序

前言

第1章什么是組合數(shù)學(xué)

1．1例：棋盤的完美覆蓋

1．2例：切割立方體

1．3例：幻方

1．4例：四色問題

1．5例：36軍官問題

1．6例：最短路徑問題

1．7例：nim取子游戲

1．8練習(xí)題

第2章鴿巢原理

2．1鴿巢原理：簡(jiǎn)單形式

2．2鴿巢原理：加強(qiáng)形式

2．3ramsey定理

2．4練習(xí)題

第3章排列與組合

3．1四個(gè)基本的計(jì)數(shù)原理

.3．2集合的排列

3．3集合的組合

3．4多重集的排列

3．5多重集的組合

3．6練習(xí)題

第4章生成排列和組合

4．1生成排列

4．2排列中的逆序

4．3生成組合

4．4生成卜組合

4．5偏序和等價(jià)關(guān)系

4．6練習(xí)題

第5章二項(xiàng)式系數(shù)

5．1pascal公式

5．2二項(xiàng)式定理

5．3一些恒等式

5．4二項(xiàng)式系數(shù)的單峰性

5．5多項(xiàng)式定理

5．6牛頓二項(xiàng)式定理

5．7再論偏序集

5．8練習(xí)題

第6章容斥原理及應(yīng)用

6．1容斥原理

6．2具有重復(fù)的組合

6．3錯(cuò)位排列

6．4帶有禁止位置的排列

6．5另外的禁排位置問題

6．6莫比烏斯反演

6．7練習(xí)題

第7章遞推關(guān)系和生成函數(shù)

7．1一些數(shù)列

7．2線性齊次遞推關(guān)系

7．3非齊次遞推關(guān)系

7．4生成函數(shù)

7．5遞歸和生成函數(shù)

7．6一個(gè)幾何的例子

7．7指數(shù)生成函數(shù)

7．8練習(xí)題

第8章特殊計(jì)數(shù)序列

8．1catalan數(shù)

8．2差分序列和stirling數(shù)

8．3分拆數(shù)

8．4一個(gè)幾何問題

8．5格路徑和schroder數(shù)

8．6練習(xí)題

第9章二分圖中的匹配

9．1一般問題表述

9．2匹配

9．3互異代表系統(tǒng)

9．4穩(wěn)定婚姻

9．5練習(xí)題

第10章組合設(shè)計(jì)

10．1模運(yùn)算

10．2區(qū)組設(shè)計(jì)

10．3steiner三元系統(tǒng)

10．4拉丁方

10．5練習(xí)題

第11章圖論導(dǎo)引

11．1基本性質(zhì)

11．2歐拉跡

11．3hamilton路徑和hamilton圈

11．4二分多重圖

11．5樹

11．6shannon開關(guān)游戲

11．7再論樹

11．8練習(xí)題

第12章有向圖及網(wǎng)絡(luò)

12．1有向圖

12．2網(wǎng)絡(luò)

12．3練習(xí)題

第13章再論圖

13．1色數(shù)

13．2平面和平面圖

13．3五色定理

13．4獨(dú)立數(shù)和團(tuán)數(shù)

13．5連通性

13．6練習(xí)題

第14章polya計(jì)數(shù)法

14．1置換群與對(duì)稱群

14．2burnside定理

14．3polya計(jì)數(shù)公式

14．4練習(xí)題

練題的答案與提示

參考文獻(xiàn)

索引

清華大學(xué)出版社圖書

圖書信息

書名：組合數(shù)學(xué)

ISBN：9787302261261

作者：周煒

定價(jià)：21元

出版日期：2011-9-1

出版社：清華大學(xué)出版社

圖書簡(jiǎn)介

本書是作者多年教學(xué)和研究成果的結(jié)晶，系統(tǒng)地研究了組合計(jì)數(shù)、組合設(shè)計(jì)以及相關(guān)數(shù)學(xué)理論。全書分為10章：集合與函數(shù)，排列組合與多項(xiàng)式定理，整除性理論，數(shù)論函數(shù)，不定方程，同余式，線性遞歸方程與母函數(shù)，鴿巢原理和Ramsey（拉姆齊）定理，Burnside（伯恩賽德）引理和Pólya（波利亞）定理，相異代表組和區(qū)組設(shè)計(jì)。

本書可以作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、數(shù)學(xué)、密碼學(xué)和其他相關(guān)專業(yè)研究生和本科生的教材使用，也可作為廣大師生和工程技術(shù)人員的自學(xué)用書或參考書。

目錄

第1章集合與函數(shù)

1.1集合論基礎(chǔ)

1.1.1集合的基本概念

1.1.2集合的代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)

1.1.3集合的運(yùn)算性質(zhì)

1.2函數(shù)、置換的循環(huán)分解

1.2.1函數(shù)的基本概念和一般性質(zhì)

1.2.2置換的循環(huán)分解

1.3集合的基數(shù)、對(duì)合映射不動(dòng)點(diǎn)定理

1.4集合上的二元關(guān)系

1.4.1二元關(guān)系的基本概念

1.4.2幾種特殊的簡(jiǎn)單二元關(guān)系

1.4.3等價(jià)關(guān)系、商集

1.5容斥原理及應(yīng)用

1.5.1容斥原理

1.5.2錯(cuò)位排列問題

1.5.3容斥原理應(yīng)用舉例

1.6Abel恒等式

1.7習(xí)題

第2章排列組合與多項(xiàng)式定理

2.1排列組合及其性質(zhì)

2.1.1無重復(fù)排列和無限可重復(fù)排列

2.1.2無重復(fù)組合及其性質(zhì)、多項(xiàng)式反演定理

2.1.3無重復(fù)有序分組、無重復(fù)無序分組

2.1.4無限可重復(fù)分組、無限可重復(fù)組合、多項(xiàng)式定理

2.1.5有限可重復(fù)組合與有限可重復(fù)排列

2.2排列組合應(yīng)用舉例

2.3Stirling公式

2.3.1Wallis公式

2.3.2Stirling公式

2.4習(xí)題

第3章整除性理論

3.1整數(shù)的整除性

3.2最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

3.3連分?jǐn)?shù)

3.3.1實(shí)數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示

3.3.2實(shí)數(shù)的近似分?jǐn)?shù)

3.3.3近似分?jǐn)?shù)的既約性

*3.3.4近似分?jǐn)?shù)的誤差估計(jì)

3.3.5整數(shù)線性組合ax-by=1的生成

3.4素?cái)?shù)、二平方定理、算術(shù)基本定理

3.5習(xí)題

第4章數(shù)論函數(shù)

4.1[x]與{x}

4.2積性函數(shù)

4.3因子數(shù)τ - n與因子和S - n

4.4Euler函數(shù)? - n

4.5M?bius函數(shù)和M?bius反演定理

4.5.1M?bius函數(shù)及其性質(zhì)

4.5.2M?bius反演定理

4.5.3圓排列問題

4.6習(xí)題

第5章不定方程

5.1二元一次不定方程

5.2三元一次不定方程

5.3勾股數(shù)定理

5.4習(xí)題

第6章同余式

6.1同余式的定義與性質(zhì)

6.2完全剩余系和縮剩余系

6.3一元一次同余方程

6.4一元一次同余方程和方程組、中國(guó)剩余定理

*6.5一元多項(xiàng)式同余方程

6.6習(xí)題

第7章線性遞歸方程與母函數(shù)

7.1遞歸方程

7.1.1線性遞歸方程解的結(jié)構(gòu)、降階定理

7.1.2常系數(shù)齊次線性遞歸方程的通解

7.1.3常系數(shù)非齊次線性遞歸方程的求解

7.1.4線性遞歸方程求解舉例

7.2Fibonacci數(shù)列

7.2.1Fibonacci問題的求解

7.2.2Fibonacci數(shù)列的性質(zhì)

7.2.3Fibonacci數(shù)列在優(yōu)選法中的應(yīng)用

7.3母函數(shù)及其性質(zhì)

7.3.1母函數(shù)的定義

7.3.2母函數(shù)的一般性質(zhì)

7.4錯(cuò)位排列和禁位排列

7.4.1錯(cuò)位排列問題

*7.4.2棋盤多項(xiàng)式與禁位排列

*7.5正整數(shù)分拆和Ferrers圖

7.5.1正整數(shù)分拆

7.5.2Ferrers圖

7.6Stirling數(shù)

7.6.1第一類Stirling數(shù)

7.6.2第二類Stirling數(shù)

7.6.3Stirling反演定理

7.7Catalan數(shù)

7.8Bernoulli數(shù)

7.9習(xí)題

第8章鴿巢原理和Ramsey定理

8.1鴿巢原理

*8.2無向完全圖的著色問題

8.3Ramsey定理

*8.4Ramsey數(shù)的性質(zhì)

8.5習(xí)題

第9章Burnside引理和Pólya定理

9.1群的基本知識(shí)

9.1.1半群、亞群、元素的階

9.1.2群、陪集、Lagrange定理

9.2Burnside引理和Pólya定理

9.2.1Burnside引理

9.2.2簡(jiǎn)化的Pólya定理

*9.2.3Pólya基本定理

9.3習(xí)題

第10章相異代表組和區(qū)組設(shè)計(jì)

10.1相異代表組

10.2公共代表組

10.3完全區(qū)組設(shè)計(jì)與拉丁方

10.4有限域基礎(chǔ)

10.5正交拉丁方

10.6均衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì) - BIBD

10.6.1BIBD的概念

10.6.2三連組系

10.6.3對(duì)稱BIBD

10.6.4由對(duì)稱BIBD構(gòu)造其他BIBD

10.7Hadamard矩陣

10.8習(xí)題