柯西-施瓦茨不等式是一個(gè)在眾多背景下都有應(yīng)用的不等式，例如線性代數(shù)，數(shù)學(xué)分析，概率論，向量代數(shù)以及其他許多領(lǐng)域。它被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中最重要的不等式之一。此不等式最初于1821年被柯西提出，其積分形式在1859被布尼亞克夫斯基提出，而積分形式的現(xiàn)代證明則由施瓦茲于1888年給出。

簡介

柯西—施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式是數(shù)學(xué)分析中經(jīng)常要用到的一個(gè)不等式，在競賽數(shù)學(xué)和

高等數(shù)學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用，下面介紹它的三種證明方法，從而加深對(duì)該不等式的理解，利于教學(xué)。定理（柯西-施瓦茨不等式）：若a1,a2，…，an和b1,b2，…，bn是任意實(shí)數(shù)，則有（nk=1∑akbk2≤（nk=1∑ak2）（k=n1∑bk2）此外，如果有某個(gè)ai≠0，則上式中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使得對(duì)于每一個(gè)k=1,2，…，n都有akx+bk=0時(shí)成立。

證明1平方和絕不可能是負(fù)數(shù)，故對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)x都有nk=1∑（akx+bk2≥0其中，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)每一項(xiàng)都等于0時(shí)成立。

數(shù)學(xué)上，柯西—施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西—布尼亞科夫斯基—施瓦茨不等式，是一條很多場(chǎng)合都用得上的不等式，例如線性代數(shù)的矢量，數(shù)學(xué)分析的無窮級(jí)數(shù)和乘積的積分，和概率論的方差和協(xié)方差。不等式以奧古斯丁·路易·柯西（AugustinLouisCauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（HermannAmandusSchwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（ВикторЯковлевичБуняковский）命名。

柯西—施瓦茨不等式說，若x和y是實(shí)或復(fù)內(nèi)積空間的元素，那么

等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x和y是線性相關(guān)。：

特例

對(duì)歐幾里得空間Rn，有

對(duì)平方可積的復(fù)值函數(shù)，有

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

在3維空間，有一個(gè)較強(qiáng)結(jié)果值得注意：原不等式可以增強(qiáng)至等式