有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合。

整數(shù)也可看做是分母為一的分?jǐn)?shù)。不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)稱為無(wú)理數(shù)，即無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分是無(wú)限不循環(huán)的數(shù)。是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的重要內(nèi)容之一，在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用，是繼續(xù)學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、直角坐標(biāo)系、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)內(nèi)容以及相關(guān)學(xué)科知識(shí)的基礎(chǔ)。

有理數(shù)集可以用大寫黑正體符號(hào)Q代表。但Q并不表示有理數(shù)，有理數(shù)集與有理數(shù)是兩個(gè)不同的概念。有理數(shù)集是元素為全體有理數(shù)的集合，而有理數(shù)則為有理數(shù)集中的所有元素。

簡(jiǎn)介

命名由來(lái)

“有理數(shù)”這一名稱不免叫人費(fèi)解，有理數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理”。事實(shí)上，這似乎是一個(gè)翻譯上的失誤。有理數(shù)一詞是從西方傳來(lái)，在英語(yǔ)中是rational?number，而rational通常的意義是“理性的”。中國(guó)在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語(yǔ)中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)”。但是，這個(gè)詞來(lái)源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這里的詞根是英語(yǔ)中的，希臘語(yǔ)意義與之相同）。所以這個(gè)詞的意義也很顯豁，就是整數(shù)的“比”。與之相對(duì)，“無(wú)理數(shù)”就是不能精確表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，而并非沒(méi)有道理。

有理數(shù)的認(rèn)識(shí)

有理數(shù)為整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱。正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)合稱為正有理數(shù)，負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)合稱為負(fù)有理數(shù)。因而有理數(shù)集的數(shù)可分為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零。由于任何一個(gè)整數(shù)或分?jǐn)?shù)都可以化為十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)，反之，每一個(gè)十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)也能化為整數(shù)或分?jǐn)?shù)，因此，有理數(shù)也可以定義為十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)。

有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張。在有理數(shù)集內(nèi)，加法、減法、乘法、除法（除數(shù)不為零）4種運(yùn)算通行無(wú)阻。

有理數(shù)a,b的大小順序的規(guī)定：如果a-b是正有理數(shù)，則稱當(dāng)a大于b或b小于a，記作a>b或b<a。任何兩個(gè)不相等的有理數(shù)都可以比較大小。

有理數(shù)集與整數(shù)集的一個(gè)重要區(qū)別是，有理數(shù)集是稠密的，而整數(shù)集是密集的。將有理數(shù)依大小順序排定后，任何兩個(gè)有理數(shù)之間必定還存在其他的有理數(shù)，這就是稠密性。整數(shù)集沒(méi)有這一特性，兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間就沒(méi)有其他的整數(shù)了。

有理數(shù)是實(shí)數(shù)的緊密子集：每個(gè)實(shí)數(shù)都有任意接近的有理數(shù)。一個(gè)相關(guān)的性質(zhì)是，僅有理數(shù)可化為有限連分?jǐn)?shù)。依照它們的序列，有理數(shù)具有一個(gè)序拓?fù)洹Ｓ欣頂?shù)是實(shí)數(shù)的（稠密）子集，因此它同時(shí)具有一個(gè)子空間拓?fù)洹?/p>

有理數(shù)及其分類

有理數(shù)的分類按不同的標(biāo)準(zhǔn)有以下兩種：

（1）按有理數(shù)的定義分類：

（2）按有理數(shù)的性質(zhì)分類：

有理數(shù)分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)，正有理數(shù)分為正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)，負(fù)有理數(shù)分為負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。

基本運(yùn)算法則

加法運(yùn)算

1、同號(hào)兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。

2、異號(hào)兩數(shù)相加，若絕對(duì)值相等則互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0；若絕對(duì)值不相等，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。

3、互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0。

4、一個(gè)數(shù)同0相加仍得這個(gè)數(shù)。

5、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，可以先相加。

6、符號(hào)相同的數(shù)可以先相加。

7、分母相同的數(shù)可以先相加。

8、幾個(gè)數(shù)相加能得整數(shù)的可以先相加。

減法運(yùn)算

減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即把有理數(shù)的減法利用數(shù)的相反數(shù)變成加法進(jìn)行運(yùn)算。

乘法運(yùn)算

1、同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。

2、任何數(shù)與零相乘，都得零。

3、幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。

4、幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為零，積就為零。

5、幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，首先確定積的符號(hào)，然后后把絕對(duì)值相乘。

除法運(yùn)算

1、除以一個(gè)不等于零的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

2、兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。零除以任意一個(gè)不等于零的數(shù)，都得零。

注意：

零不能做除數(shù)和分母。

有理數(shù)的除法與乘法是互逆運(yùn)算。

在做除法運(yùn)算時(shí)，根據(jù)同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)的法則先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相除。若在算式中帶有帶分?jǐn)?shù)，一般先化成假分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算。若不能整除，則除法運(yùn)算都轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。

乘方運(yùn)算

1、負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)。例如：（-2）3（-2的3次方）=-8，（-2）2（-2的2次方）=4。

2、正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，零的任何正數(shù)次冪都是零。例如：2（2的2次方）=4，2?（2的3次方）=8，0（0的3次方）=0。

3、零的零次冪無(wú)意義。

4、由于乘方是乘法的特例，因此有理數(shù)的乘方運(yùn)算可以用有理數(shù)的乘法運(yùn)算完成。

5、1的任何次冪都是1，-1的偶次冪是1，奇次冪是-1。

有理數(shù)運(yùn)算定律

加法運(yùn)算律:

1、加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，即?。

2、加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變，即?。

?減法運(yùn)算律：

- a+b+c=a+ - b+ca+b=a+b減法運(yùn)算律：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即：?a-b=a+ - -b?。

乘法運(yùn)算律：

1、乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變，即?。

2、乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)先乘，或者先把后兩個(gè)相乘，積不變，即?。

3、乘法分配律：某個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加，即：

a - b+c=ab+ac - abc=a - bcab= ba.

混合運(yùn)算法則

有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如果是同級(jí)運(yùn)算，則按照從左到右的順序依次計(jì)算。

相關(guān)問(wèn)題

除以零的謬誤

在代數(shù)運(yùn)算中不當(dāng)使用除以零可得出無(wú)效證明：?a=b?。前提a不等于b??。

由：0a=0，0b=0，得出0a=0b。

兩邊除以零，得出0a/0=0b/0。

化簡(jiǎn)，得：a=b。

以上謬論一個(gè)假設(shè)，就是某數(shù)除以0是容許的，并且?。

0/0=a

代數(shù)處理

??若某數(shù)學(xué)系統(tǒng)遵從域的公理，則在該數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)除以零必須為沒(méi)有意義。這是因?yàn)槌ū欢x為是乘法的逆向操作，即a/b值是方程bx=a中x的解（若有的話）。若設(shè)b=0，方程式bx=a可寫成0x=a或直接a=0。因此，方程bx=a沒(méi)有解（當(dāng)a≠0時(shí)），但是任何數(shù)值也可解此方程（當(dāng)a=0時(shí)）。

整數(shù)

整數(shù)，是序列{…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…}中所有的數(shù)的統(tǒng)稱，包括負(fù)整數(shù)、零（0）與正整數(shù)。和自然數(shù)一樣，整數(shù)也是一個(gè)可數(shù)的無(wú)限集合。這個(gè)集合在數(shù)學(xué)上通常表示為粗體Z或，源于德語(yǔ)單詞Zahlen（意為“數(shù)”）的首字母。

在代數(shù)數(shù)論中，這些屬于有理數(shù)的一般整數(shù)會(huì)被稱為有理整數(shù)，用以和高斯整數(shù)等的概念加以區(qū)分。

全體整數(shù)關(guān)于加法和乘法形成一個(gè)環(huán)。環(huán)論中的整環(huán)、無(wú)零因子環(huán)和唯一分解域可以看作是整數(shù)的抽象化模型。

Z是一個(gè)加法循環(huán)群，因?yàn)槿魏握麛?shù)都是若干個(gè)1或?-1的和。1和?-1是Z僅有的兩個(gè)生成元。每個(gè)元素個(gè)數(shù)為無(wú)窮個(gè)的循環(huán)群都與（Z，+）同構(gòu)。