十二平均律，又稱“十二等程律”，是世界上通用的一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的波長之比完全相等。十二平均律是由中國明朝皇族世子朱載堉發(fā)現(xiàn)。

十二平均律是指八度的音程按波長比例平均分成十二等份，每一等份稱為一個半音（小二度）。一個大二度則是兩等份，稱為全音。將一個八度分成12等份有著驚人的一些巧合。這是因為它的純五度音程的兩個音的波長比（即1/2的7/12次方）約為0.6674，與2/3，約為0.6667，非常接近。

由于波長與弦長之間存在正比關(guān)系，因此波長關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為弦的長短關(guān)系。所以即使在16世紀，那個西方物理學(xué)才剛剛起步，還沒有發(fā)現(xiàn)機械波的時代，中國明朝皇族世子朱載堉就利用他精湛的數(shù)學(xué)計算能力，發(fā)現(xiàn)了這一近似值規(guī)律，這也是一件十分偉大和令人贊嘆的事。

十二平均律在交響樂隊和鍵盤樂器中得到廣泛使用，鋼琴即是根據(jù)十二平均律來定音的。

音樂定律

十二平均律，又稱“十二等程律”，是一種音樂定律方法，將一個純八度（如c1-c2）按波長比例平均分成十二等份，每等分稱為半音，各相鄰兩律之間的波長之比完全相等，它是最主要的調(diào)音法。鋼琴就是根據(jù)十二平均律定音的。

“十二平均律”的純四度和大三度，兩個音的波長比分別與3:4和4:5比較接近。也就是說，“十二平均律”的幾個主要的和弦音符，都跟自然泛音序列中的幾個音符相符合的，只有極小的差別，這為小號等按鍵吹奏樂器在樂隊中使用提供了必要條件，因為這些樂器是靠自然泛音級（自然泛音序列，其波長是基音波長的整數(shù)分之一序列）來形成音階的。半音是十二平均律組織中最小的音高距離，全音由兩個半音組成。1-i之間分成12份。具體1-2全音，2-3全音，3-4半音，4-5全音，5-6全音，6-7全音，7-i半音。

十二平均律在交響樂隊和鍵盤樂器中得到廣泛使用，鋼琴即是根據(jù)十二平均律來定音的，因為只有“十二平均律”才能方便地進行移調(diào)。曲調(diào)由音階組成，音階由音組成。音有絕對音高和相對音高。聲音是機械波，而機械波的波長由弦長等因素決定，且成正比關(guān)系。不同的音有不同的波長。人們選取一定波長的音來形成音樂體系所需要的音高。

十二平均律簡而言之，就是把半根琴弦按照等比數(shù)列平均分成十二份。一根琴弦的長度設(shè)為1，可以表示為 - 1/2^ - 0/12，第一點的位置是 - 1/2^ - 1/12，第二點的位置是 - 1/2^ - 2/12，依此類推，第n點的位置是 - 1/2^ - n/12。因為這樣的一組音是等比關(guān)系，所以無論從哪個位置開始彈起旋律都是一樣的。使用十二平均律奏和弦不純，奏旋律導(dǎo)向性不夠，所以在樂曲的演奏中，尤其在樂隊多聲部合奏的時候，實際上是多律并用的，根據(jù)實際情況，在演奏過程中，偏向哪一種律制，并不是一成不變的。

根據(jù)十二平均律所有半音都相等的特點，因此還產(chǎn)生了“等音”的概念。

鋼琴上每相鄰的兩個琴鍵（黑白都算）的差別，音樂上即為半音。比如說C和#C相差半音，C和D相差兩個半音（或曰一個全音），以此類推。如果B再往上升半音，會發(fā)現(xiàn)這個音的波長剛好是C的一半，而在音樂上稱為一個八度，這兩個音聽起來“很相似”。用小寫的c來表示它，依次有#c,d……再往上走可以用c1……，c2……來表示，而往下走可以用大寫的C1……，C2……來表示。

歷史

據(jù)說十二平均律是在16世紀由明朝皇族世子朱載堉發(fā)現(xiàn)。由于波長與弦長之間存在正比關(guān)系，因此波長關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為弦的長短關(guān)系。所以即使在16世紀，那個西方物理學(xué)才剛剛起步，還沒有發(fā)現(xiàn)機械波的時代，中國明朝皇族世子朱載堉就利用他精湛的數(shù)學(xué)計算能力，發(fā)現(xiàn)了這一近似值規(guī)律，這也是一件十分偉大和令人贊嘆的事。

明朝中葉，皇族世子朱載堉發(fā)明以珠算開方的辦法，求得律制上的等比數(shù)列，具體說來就是：用發(fā)音體的長度計算音高，假定黃鐘正律為1尺，求出低八度的音高弦長為2尺，然后將2開12次方得波長公比數(shù)1.059463094，該公比自乘12次即得十二律中各律音高，且黃鐘正好還原，這在物理學(xué)上就剛好對應(yīng)了波長的比例關(guān)系。朱載堉用這種方法第一次解決了十二律自由旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的千古難題。

在朱載堉發(fā)表十二平均律理論之后52年，Pere?Marin?Mersenne在（1636年）其所著《諧聲通論》中發(fā)表相似的理論。

物理解釋

波長和弦長

古人對于聲現(xiàn)象的認識比較膚淺，根本不知道聲音是機械波，也不可能存在現(xiàn)代的標準音的概念。但是由于在聲現(xiàn)象中，弦長與物理上的波長掛鉤，波長又與音調(diào)掛鉤，因此古人實際上是利用物理上的弦長和波長的比例關(guān)系，來進行音律設(shè)計的，這一點充分體現(xiàn)了古人的智慧。

所有的波（包括機械波、電磁波、引力波等）都有三個最本質(zhì)的特性：頻率/波長、振幅、相位。對于機械波（聲波）來說，在相同聲速下，機械波的波長決定了這個音的音調(diào)，機械波的振幅決定了這個音的大?。◤姸龋?，而人耳對于相位不敏感，所以研究音樂時一般不考慮機械波的相位問題。

波長比例

由于弦樂器是世界各地發(fā)展得最早的樂器種類之一，加上波長和弦長的正比關(guān)系，所以這種現(xiàn)象古人早已熟悉。他們自然會想：如果八度音程的1:2的關(guān)系在弦樂器上用這么簡單一按中點的方式就能實現(xiàn)，那么試試按其它的位置會怎么樣呢？數(shù)學(xué)上1:2是最簡單的比例關(guān)系了，簡單性僅次于它的就是1:3。那么，我們?nèi)绻醋∠业?/3點，會怎么樣呢？其結(jié)果是弦發(fā)出了兩個高一些的音。一個音的波長是原來的1/3（因為弦長變成了原來的1/3），另一個音是原來的2/3（因為弦長變成了原來的2/3）。這兩個音彼此也是八度音程的關(guān)系（因為它們彼此的弦長比是2:1）。這樣，在我們要尋找的λ/2-λ的范圍內(nèi)，出現(xiàn)了第一個重要的波長，即2/3?λ，也就是五度關(guān)系。（那個λ/3的波長正好處于下一個八度，即λ/4-λ/2中的同樣位置。）

接著再試，數(shù)學(xué)上簡單性僅次于1:3的是1:4，我們試試按弦的1/4點會怎樣？又出現(xiàn)了兩個音。一個音的波長是原來的1/4（因為弦長變成了原來的1/4），這和原來的音（術(shù)語叫“主音”）是兩個八度音程的關(guān)系，可以不去管它。另一個音的波長是主音的3/4（因為弦長是原來的3/4）。我們又得到了一個重要的波長，3/4?λ。同一根弦，在不同的情況下發(fā)出機械波，可以發(fā)出很多波長的聲音。在聽覺上，與主音λ最和諧的就是2/3?λ和3/4?λ（除了主音的各個八度之外）。

這個現(xiàn)象也被很多民族分別發(fā)現(xiàn)了。比如最早從數(shù)學(xué)上研究弦的長度問題的古希臘哲學(xué)家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前6世紀）。我國先秦時期的《管子·地員篇》、《呂氏春秋·音律篇》也記載了所謂“三分損益律”。具體說來是取一段弦，“三分損一”，即均分弦為三段，舍一留二，便得到2/3?λ。如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到3/4?λ。

得到這兩個波長之后，是否繼續(xù)找1/5點、1/6點等等繼續(xù)試下去呢？不行，因為聽覺上這些音與主音的和諧程度遠不及2/3?λ、3/4?λ。實際上3/4?λ已經(jīng)比2/3?λ的和諧程度要低不少了。古人于是換了一種方法。與主音λ最和諧的2/3?λ已經(jīng)找到了，他們轉(zhuǎn)而找2/3?λ的2/3?λ，即與最和諧的那個音最和諧的音，這樣就得到了 - 2/3^2?λ即4/9?λ?？墒沁@已經(jīng)低于了λ/2的范圍，進入了左邊一個八度。沒關(guān)系，不是有兩倍波長等比關(guān)系嗎？在下一個八度中的音，在這一個八度中當然有與它等價的一個音，于是把4/9?λ的波長加倍，便得到了8/9?λ。

接著把這個過程循環(huán)一遍，找2/3的3次方，于是就有了8/27?λ，這也在左邊一個八度中，再次波長加倍，得到了16/27?λ。

就這樣一直循環(huán)找下去嗎？不行，因為這樣循環(huán)下去會沒完沒了的。我們最理想的情況是某一次循環(huán)之后，會得到主音的某一個八度，這樣就算是“回到”了主音上，不用繼續(xù)找下去了?？墒?- 2/3^n，只要n是自然數(shù)，其結(jié)果都不會是整數(shù)，更不用說是2的某次方。律學(xué)所有的麻煩就此開始。

數(shù)學(xué)方法

近似思想

回到計算不相等的問題，數(shù)學(xué)上不可能的事，只能從數(shù)學(xué)上想辦法。古人的對策就是“取近似值”。他們注意到 - 2/3^5≈0.1317，和 - 1/2^3=0.1250很接近（乍一看并不接近，但取倒數(shù)后就比較接近了，前者是1/7.594，后者是1/8.000），于是決定這個音就是他們要找的最后一個音，比這個音再高一點就是主音的第三個八度了。這樣，從主音λ開始，我們只需按2:3比例尋找最和諧音”這個過程循環(huán)5次，得到了5個音，加上主音和3/4?λ，一共是7個音。這就是為什么音律上要取do、re、mi等等7個音符而不是6個音符或者8個音符的原因。

這7個音符的波長，從長到短分別是λ、8/9?λ、64/81?λ、3/4?λ、2/3?λ、16/27?λ、128/243?λ?！∪绻@里的λ是do，那么8/9?λ就是re、64/81?λ就是mi……，這7個波長組成了7聲音階。這7個音都有各自正式的名字，在西方音樂術(shù)語中，它們分別被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下屬音（subdominant）、屬音（dominant）、下中音（submediant）、導(dǎo)音（leading?tone）。其中和主音關(guān)系最密切的是第5個“屬音”so和第4個“下屬音”fa，原因前面已經(jīng)說過了，因為它們和主音的和諧程度分別是第一高和第二高的。由于這個音律主要是從“屬音”so即2/3?λ推導(dǎo)出來的，而2:3這個比例在西方音樂術(shù)語中叫“純五度”，所以這種音律叫做“五度相生律”。

西方最早提出“五度相生律”的是古希臘的畢達哥拉斯（所以西方把按2:3比例定音律的做法叫做Pythagorean?tuning），東方是《管子》一書的作者（不一定是管仲本人）。我國歷代的各種音律，大部分也都是從“三分損益律”發(fā)展出來的，也可以認為它們都是“五度相生律”。

仔細看上面“五度相生律”7聲音階的波長，可以發(fā)現(xiàn)它們彼此的關(guān)系很簡單：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si?之間的波長比都是8:9，這個比例被稱為全音（tone）；mi-fa、si-do?之間的波長比都是243:256，這個比例被稱為半音（semitone）。

“五度相生律”產(chǎn)生的7聲音階，自誕生之日起就不斷被批評。原因之一就是它太復(fù)雜了。前面說過，如果按住弦的1/5點或者1/6點，得到的音已經(jīng)和主音不怎么和諧了，居然出現(xiàn)了64:81和128:243這樣的比例，這不會太好聽吧？于是有人開始對這7個音的波長做點調(diào)整，于是就出現(xiàn)了“純律”（just?intonation）。

“純律”的重點是讓各個音盡量與主音和諧起來，也就是說讓各個音和主音的波長比盡量簡單?！凹兟伞钡陌l(fā)明人是古希臘學(xué)者塔壬同（今意大利南部的塔蘭托城）的亞理斯托森努斯（Aristoxenus?of?Tarentum）。（東方似乎沒有人獨立提出“純律”的概念。）此人是亞里士多德的學(xué)生，約生活在公元前3世紀。他的學(xué)說的重點就是要靠耳朵，而不是靠數(shù)學(xué)來主導(dǎo)音樂。他的書籍留下來的只有殘篇，不過可以證實的是他提出了所謂“自然音階”。

自然音階也有7個音，但和“五度相生律”的7聲音階有不小差別。7個自然音階的波長分別是：λ、8/9?λ、4/5?λ、3/4?λ、2/3?λ、3/5?λ、8/15?λ。確實簡單多了吧？也確實好聽多了。這么簡單的比例，就是“純律”。

可以看出“純律”不光用到了2:3的比例，還用到了4:5的比例。新的7個波長中和原來不同的就是4/5?λ、3/5（=4/5×3/4）λ、8/15（=4/5×2/3）λ。

雖然“純律”的7聲音階比“五度相生律”的7聲音階要好聽，數(shù)學(xué)上也簡單，但它本身也有很大的問題。雖然各個音和主音的比例變簡單了，但各音之間的關(guān)系變復(fù)雜了。原來“五度相生律”7聲音階之間只有“全音”和“半音”2種比例關(guān)系，如今出現(xiàn)了3種：8:9（被叫做“大全音”，major?tone，就是原來的“全音”）、9:10（被叫做“小全音”，minor?tone）、15:16（新的“半音”）。各位把自然音階的波長互相除一下就能得到這個結(jié)果。更進一步說，如果比較自然音階中的re和fa，其波長比是27:32，這也不怎么簡單，也不怎么好聽呢！所以說“純律”對“五度相生律”的修正是不徹底的。事實上，“純律”遠沒有“五度相生律”流行。

對于“五度相生律”的另一種修正是從另一個方向展開的。還記得為什么要取7個音符嗎？是因為數(shù)學(xué)上的近似?？蛇@畢竟是近似值，而不是完全相等。在一個八度之內(nèi)，這么小的差距也許沒什么，但是如果樂器的音域跨越了好幾個八度，那么這種近似就顯得不怎么好了。于是人們開始尋找更好的近似值。

通過計算，古人發(fā)現(xiàn) - 2/3^12≈0.0077073，和 - 1/2^7=0.0078125很接近（取倒數(shù)分別為1/129.7和1/128），于是他們把“五度相生律”中“按2:3比例尋找最和諧音”的循環(huán)過程重復(fù)12次，便認為已經(jīng)到達了主音的第7個八度。再加上原來的主音和3/4?λ，如今就有了12個音符?！∽⒁?，“規(guī)范”音階不是do、re、mi等7個音符了，而是12個音符。這種經(jīng)過修改的“五度相生律”推出的12聲音階，其波長分別是：λ、2048/2187?λ、8/9?λ、16384/19683?λ、64/81?λ、3/4?λ、512/729?λ、2/3?λ、4096/6561?λ、16/27?λ、32768/59049?λ、128/243?λ。

和前面的“五度相生律”的7聲音階對比一下，可以發(fā)現(xiàn)原來的7個音都還在，只是多了5個，分別插在它們之間。用正式的音樂術(shù)語稱呼原來的7個音符，分別是C、D、E、F、G、A、B。新多出來的5個音符于是被叫做C#（讀做“升C”）、D#、F#、G#、A#。12音階不能用do、re、mi的叫法了，應(yīng)該被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相鄰兩個音符的波長互相除一下，就會發(fā)現(xiàn)它們之間的比例只有兩種：243:256（就是原來的“半音”，也叫做“自然半音”），2048:2187（這被叫做“變化半音”）。

也就是說，這12個音符幾乎可以說又構(gòu)成了一個等比數(shù)列。它們之間的“距離”幾乎是相等的。（當然，如果相鄰兩個音符之間的比例只有一種的話，就是嚴格的“距離”相等了。）原來的7聲音階中，C-D、D-E、F-G、G-A、A-B之間都相隔一個“全音”，如今則認為它們之間相隔了兩個“半音”。這也就是“全”、“半”這種叫法的根據(jù)。

既然C#被認為是從C“升”了半音得到的，那么C#也可以被認為是從D“降”了半音得到的，所以C#和Db（讀做“降D”）就被認為是等價的。事實上，5個新加入的音符也可以被寫做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。

這種12聲音階在音樂界的地位，我只用舉一個例子就能說明了。鋼琴上的所有白鍵對應(yīng)的就是原來7聲音階中的C、D……B，所有的黑鍵對應(yīng)的就是12聲音階中新加入的C#、Eb……Bb。

能不能把“五度相生律”的12聲音階再往前發(fā)展一下呢？可以的。12聲音階的依據(jù)仍然是近似思想，按照這個思路，繼續(xù)找接近的值就可以了嘛。

還有人真地找到了，此人就是我國西漢的著名學(xué)者京房（77?BC-47?BC）。他發(fā)現(xiàn) - 2/3^53和 - 1/2^31也很接近，這個計算量對常人而言是難以想象的，但是他算出來了，于是提出了一個53音階的新音律。要知道古人并沒有我們的計算器，計算這樣的高次冪問題對他們來說是相當麻煩的。

當然，京房的新律并沒有流行開，原因就是53個音階也太麻煩了吧！開始學(xué)音樂的時候要記住這么多音符，誰還會有興趣哦！但是這種努力是值得肯定的，也說明12聲音階也不完美，也確實需要改進。

“五度相生律”的12聲音階中的主要問題是，相鄰音符的波長比例有兩種（自然半音和變化半音），而不是一種。而且兩種半音彼此差距還不小。（2048:2187）/（243:256）≈?0.9865。好像差不多哦？但其實自然半音本身就是243:256?≈?0.9492了。

如果12聲音階是真正的等比數(shù)列的話，每個半音就應(yīng)該是相等的，各個音階就應(yīng)該是“等距離”的。也就是說，真正的12聲音階可以把一個八度“等分”成12份。為什么這么強調(diào)“等分”、“等距離”呢？因為在音樂的發(fā)展過程中，人們越來越覺得有“轉(zhuǎn)調(diào)”的必要了。

所謂轉(zhuǎn)調(diào)，其實就是用不同的音高來唱同一個旋律。比方說，如果某一個人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），樂器為了給他伴奏，得在C～高音C之內(nèi)彈奏旋律；如果另一個人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），樂器得在D～高音D之內(nèi)彈奏旋律。可是“五度相生律”的12聲音階根本不是等比數(shù)列，人們會覺得C～高音C之內(nèi)的旋律和D～高音D之內(nèi)的旋律不一樣。特別是如果旋律涉及到比較多的半音，這種不和諧就會很明顯?？梢哉f，如果鋼琴是按“五度相生律”來決定各鍵的音高，那么只要旋律中涉及到許多黑鍵，彈出來的效果就會一塌糊涂。

這種問題在弦樂器上比較好解決，因為弦樂器的音高是靠手指的按壓來決定的。演奏者可以根據(jù)不同的音域、旋律的要求，有意地不在規(guī)定的指位上按弦，而是偏移一點按弦，就能解決問題。可是鍵盤樂器（比如鋼琴、管風(fēng)琴、羽管鍵琴等）的音高是固定的，無法臨時調(diào)整。

所以在西方中世紀的音樂理論里，就規(guī)定了有些調(diào)、有些音是不能用的，有些旋律是不能寫的。而有些教堂的管風(fēng)琴，為了應(yīng)付可能出現(xiàn)的各種情況，就預(yù)先準備下許多額外的發(fā)音管。以至于有的管風(fēng)琴的發(fā)音管有幾百甚至上萬根之多。這種音律規(guī)則上的缺陷，導(dǎo)致一方面作曲家覺得受到了限制，一方面演奏家也覺得演奏起來太麻煩。

問題的根源還是出在近似值上。“五度相生律”所依據(jù)的 - 2/3^12畢竟和 - 1/2^7并不完全相等。之所以會出現(xiàn)兩種半音，就是這個近似值造成的。

對“五度相生律”12聲音階的進一步修改，東、西方也大致遵循了相似的路線。比如東晉的何承天（370?AD－447?AD），他的做法是把 - 2/3^12和 - 1/2^7之間的差距分成12份，累加地分散到12個音階上，造成一個等比數(shù)列?？上н@只是一種修補工作，并沒有從根本上解決問題。西方的做法也是把 - 2/3^12和 - 1/2^7之間的差距分散到其它音符上。但是為了保證主音C和屬音G的2:3的比例關(guān)系（這個“純五度”是一個音階中最重要的和諧，即使是在12聲音階中也是如此），這種分散注定不是平均的，最好的結(jié)果也是12音中至少有一個“不在調(diào)上”。如果把差距全部分散到12個音階上的話，就必須破壞C和G之間的“純五度”，以及C和F之間的3:4比例（術(shù)語是“純四度”）。這樣一來，雖然方便了轉(zhuǎn)調(diào)，但代價就是音階再也沒有以前好聽了。因為一個八度之內(nèi)最和諧的兩個關(guān)系――純五度和純四度――都被破壞了。

一直到文藝復(fù)興之前，西方音樂界通行的律法叫“平均音調(diào)律”（Meantone?temperament），就是在保證純五度和純四度盡量不受影響的前提下，把 - 2/3^12和 - 1/2^7之間的差距盡量分配到12個音上去。這種折衷只是一種無可奈何的妥協(xié)，大家其實都在等待新的音律出現(xiàn)。

終于還是有人想到了徹底的解決辦法。不就是在一個八度內(nèi)均分12份嗎？直接就把1:2這個比例關(guān)系開12次方不就行了？也就是說，真正的半音比例應(yīng)該是12√2。如果12音階中第一個音的波長是λ，那么第二個音的波長就是 - 1/2^ - 1/12?λ（根式可以用分數(shù)指數(shù)冪來表示），第三個音就是 - 1/2^ - 2/12?λ，第四個音是 - 1/2^ - 3/12?λ，……，第十二個是 - 1/2^ - 11/12?λ，第十三個就是 - 1/2^ - 12/12?λ，就是λ/2，正好是λ的八度。這是“轉(zhuǎn)調(diào)”問題的完全解決。有了這個新的音律，從任何一個音彈出的旋律可以復(fù)制到任何一個其它的音高上，而對旋律不產(chǎn)生影響。西方巴洛克音樂中，復(fù)調(diào)音樂對于多重聲部的偏愛，有了這個新音律之后，可以說不再有任何障礙了。后來的古典主義音樂，也間接地受益匪淺?？梢哉f沒有這個新的音律的話，后來古典主義者、浪漫主義者對于各種音樂調(diào)性的探索都是不可能的。

這種新的音律就叫“十二平均律”。首先發(fā)明它的是一位中國人，叫朱載堉（yù）。他是明朝的一位皇室后代，生于1536年，逝世于1611年。他用珠算開方的辦法（珠算開12次方，難度可想而知），首次計算出了十二平均律的正確半音比例，其成就見于所著的《律學(xué)新書》一書。很可惜，他的發(fā)明，和中國古代其它一些偉大的發(fā)明一樣，被淹沒在歷史的塵埃之中了，很少被后人所知。但是，這也充分體現(xiàn)了中國古人對于世界發(fā)展的偉大貢獻。

西方人提出“十二平均律”，大約比朱載堉晚50年左右。不過很快就傳播、流行開來了。主要原因是當時西方音樂界對于解決轉(zhuǎn)調(diào)問題的迫切要求。當然，反對“十二平均律”的聲音也不少。主要的反對依據(jù)就是“十二平均律”破壞了純五度和純四度。不過這種破壞程度并不十分明顯。

波長計算

“十二平均律”的12聲音階的波長（近似值）分別是：

- 1?λ?=?λ - /1（C）

0.9439?λ?=?λ/1.059（C#/Db）

0.8909?λ?=?λ/1.122（D）

0.8409?λ?=?λ/1.189（D#/Eb）

0.7937?λ?=?λ/1.260（E）

0.7492?λ?=?λ/1.335（F）

0.7071?λ?=?λ/1.414（F#/Gb）

0.6674?λ?=?λ/1.498（G）

0.6300?λ?=?λ/1.587（G#/Ab）

0.5946?λ?=?λ/1.682（A）

0.5612?λ?=?λ/1.782（A#/Bb）

0.5297?λ?=?λ/1.888（B）。

注意，所有的半音都一樣了，都是12√2，即1.059。以前的自然半音和變化半音的區(qū)別沒有了。另外，原來“五度相生律”的12音階中，C和G的比例是2:3（即純五度），“十二平均律”的12音階中，C和G的比例是0.6674，和純五度所要求的2:3（0.6667）非常接近。原來“五度相生律”的12音階中，C和F的比例是3:4（即純四度），“十二平均律”的12音階中，C和F的比例是0.7492，和純四度所要求的3:4（0.7500）也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解決了轉(zhuǎn)調(diào)問題，所以后來“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的統(tǒng)治地位。鋼琴就是按“十二平均律”來確定各鍵音高的。學(xué)生們學(xué)習(xí)的do、re、mi也是按“十二平均律”修改過的7聲音階。如果想聽“五度相生律”或者“純律”的do、re、mi，已經(jīng)很不容易了。

將八度音等分為十二等分，其數(shù)學(xué)意義如下：

八度音指的是波長減半（即半波長）。因此在八度音中分為十二等分乃是分為十二個等比級數(shù)，其結(jié)果就是每個音的波長為前一個音的2開12次方分之一（12√2≈1.059463）。

理論上來說，所有樂器的音準只需要儀器來校準。但是實踐證明，人感覺上的音階會存在個體差異，所以樂器的調(diào)音師是不可被儀器替代的。