這七個“世界難題”是：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊-米爾斯存在性和質量缺口、納衛(wèi)爾-斯托可方程、BSD猜想。這七個問題都被懸賞一百萬美元。

問題提出

數(shù)學大師大衛(wèi)·希爾伯特在1900年8月8日于巴黎召開的第二屆世界數(shù)學家大會上的著名演講中提出了23個數(shù)學難題。希爾伯特問題在過去百年中激發(fā)數(shù)學家的智慧，指引數(shù)學前進的方向，其對數(shù)學發(fā)展的影響和推動是巨大的，無法估量的。

20世紀是數(shù)學大發(fā)展的一個世紀。數(shù)學的許多重大難題得到完滿解決， 如費馬大定理的證明，有限單群分類工作的完成等， 從而使數(shù)學的基本理論得到空前發(fā)展。

2000年初美國克雷數(shù)學研究所的科學顧問委員會選定了七個“千年大獎問題”，克雷數(shù)學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得一百萬美元的獎勵。

克雷數(shù)學研究所“千年大獎問題”的選定，其目的不是為了形成新世紀數(shù)學發(fā)展的新方向， 而是集中在對數(shù)學發(fā)展具有中心意義、數(shù)學家們夢寐以求而期待解決的重大難題。

2000年5月24日，千年數(shù)學會議在著名的法蘭西學院舉行。會上，97年菲爾茲獎獲得者伽沃斯以“數(shù)學的重要性”為題作了演講，其后，塔特和阿啼亞公布和介紹了這七個“千年大獎問題”?？死讛?shù)學研究所還邀請有關研究領域的專家對每一個問題進行了較詳細的詳述。

克雷數(shù)學研究所對“千年大獎問題”的解決與獲獎作了嚴格規(guī)定。每一個“千年大獎問題”獲得解決并不能立即得獎。任何解決答案必須在具有世界聲譽的數(shù)學雜志上發(fā)表兩年后且得到數(shù)學界的認可，才有可能由克雷數(shù)學研究所的科學顧問委員會審查決定是否值得獲得一百萬美元的大獎。其中有一個已被解決 - 龐加萊猜想，由俄羅斯數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼破解，還剩六個。

“千年大獎問題”公布以來， 在世界數(shù)學界產(chǎn)生了強烈反響。這些問題都是關于數(shù)學基本理論的，但這些問題的解決將對數(shù)學理論的發(fā)展和應用的深化產(chǎn)生巨大推動。認識和研究“千年大獎問題”已成為世界數(shù)學界的熱點。不少國家的數(shù)學家正在組織聯(lián)合攻關。 “千年大獎問題” 將會改變新世紀數(shù)學發(fā)展的歷史進程。

七大難題

NP完全問題

例：在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認識的人。宴會的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)宴會的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。

生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)13717421可以寫成兩個較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。

人們發(fā)現(xiàn)，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們于是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。

不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克于1971年陳述的。

霍奇猜想

二十世紀的數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數(shù)學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。

不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的 - 有理線性組合。

龐加萊猜想

如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。

我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面 - 四維空間中與原點有單位距離的點的全體的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學家們就在為此奮斗。

在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼在發(fā)表了三篇論文預印本，并聲稱證明了幾何化猜想。

在佩雷爾曼之后，先后有2組研究者發(fā)表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節(jié)。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛。2006年8月，第25屆國際數(shù)學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數(shù)學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

黎曼假設

有些數(shù)具有不能表示為兩個更小的數(shù)的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數(shù)稱為素數(shù)；它們在純數(shù)學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素數(shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國數(shù)學家黎曼 - 1826~1866觀察到，素數(shù)的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼zeta函數(shù)ζ - s的性態(tài)。

著名的黎曼假設斷言，方程ζ - s=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數(shù)分布的許多奧秘帶來光明。

黎曼假設之否認：

其實雖然因素數(shù)分布而起，但是卻是一個歧途，因為偽素數(shù)及素數(shù)的普遍公式告訴我們，素數(shù)與偽素數(shù)由它們的變量集決定的。具體參見偽素數(shù)及素數(shù)詞條。

楊-米爾斯存在性和質量缺口

量子物理的定律是以經(jīng)典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數(shù)學之間的令人注目的關系。

基于楊－米爾斯方程的預言已經(jīng)在如下的全世界范圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和駐波。

盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學家所確認、并且在他們的對于“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數(shù)學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數(shù)學上兩方面引進根本上的新觀念。

納衛(wèi)爾-斯托可方程的存在性與光滑性

起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機的飛行。數(shù)學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。

雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對數(shù)學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

BSD猜想

數(shù)學家總是被諸如

那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個整數(shù)解。

當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數(shù)z - s在點s=1附近的性態(tài)。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z - 1等于0,那么存在無限多個有理點 - 解。相反，如果z - 1不等于0。那么只存在著有限多個這樣的點。