截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。截長就是在一條線上截取成兩段，補(bǔ)短就是在一條邊上延長，使其等于一條所求邊

定義

　　截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。

　　截長：1.過某一點(diǎn)作長邊的垂線 2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。

　　補(bǔ)短：1.延長短邊 2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。

用法例題

　　例1：正方形AbcD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，∠EAF=45。求證：EF=DE+BF。

　　解：延長CD到點(diǎn)G，使得DG=BF，連接AG。

　　∵ABCD是正方形

　　∴∠ADG=∠ABF=90°

　　AD=AB

　　又∵DG=BF

　　∴ADG≌ABF（SAS）

　　∴∠GAD=∠FAB，AG=AF

　　∵ABCD是正方形

　　∴∠DAB=90°

　　=∠DAF+∠FAB

　　=∠DAF+∠GAD

　　=∠GAF

　　∴∠GAE=∠GAF-∠EAF

　　=90°-45°

　　=45°

　　∵∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF

　　∴AE=AE

　　∴△EAG≌△EAF（SAS）

　　∴EF=GE

　　=GD+DE

　　=BF+DE?

　　例2：如圖，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中點(diǎn)，求∠AEB的度數(shù)。

　　解：向AE方向延長AE，交BC的延長線于F。

　　∵∠5和∠6是對頂角

　　∴∠5=∠6

　　又∵E是CD的中點(diǎn)

　　∴DE=EC

　　∵AD∥BC

　　∴∠1=∠DCF

　　在△AED和△CEF中：

　　【∠5=∠6】

　　【∠1=∠F】

　　【DE=EC】

　　∴△AED≌△CEF（AAS

　　∴AD=CF，AE=EF

　　∴AB=AD+BC

　　=CF+BC

　　=BF

　　∴△ABF是等腰三角形

　　∵△ABF是等腰三角形，AE=EF

　　∴BE⊥AF

　　∴∠AEB=90?

　　例3：如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求證：AB+BD=AC。

　　證明：在AC上截取AE=AB，連接DE。∵AD平分∠BAC

　　∴∠1=∠2

　　在△ABD和△AED中：

　　【AB=AE】

　　【∠1=∠2】

　　【AD=AD】

　　∴△ABD≌△AED（SAS）

　　∴BD=DE，∠B=∠3

　　又∵∠B=2∠C

　　∴∠3=2∠C

　　∵∠3=∠4+∠C

　　∴2∠C=∠4+∠C

　　∴∠C=∠4

　　∴DE=CE

　　∴BD=CE

　　∵AE+EC=AC

　　∴AB+BD=AC?

例4：如圖，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180°。求證：CD=CB。

　　證明：在AB上找一點(diǎn)E，使AE=AD，連接CE?！逜C平分∠DAB

　　∴∠DAC=∠BAC

　　在△ACD和△ACE中：

　　【AE=AD】

　　【∠DAC=∠BAC】

　　【AC=AC】

　　∴△ACD≌△ACE - SAS

　　∴∠ADC=∠AEC，CD=CE

　　∵∠ADC=∠AEC

　　∴∠ADC+∠B

　　=∠AEC+∠B=180°

　　∵∠CEB+∠AEC=180°

　　∴∠B=∠CEB

　　∴CE=CB

　　∵CD=CE

　　∴CD=CB?