一般來說，設(shè)函數(shù)y=f - x - x∈A的值域是C，若找得到一個函數(shù)g - y在每一處g - y都等于x，這樣的函數(shù)x=g - y - y∈C叫做函數(shù)y=f - x - x∈A的反函數(shù)，記作x=f-1 - y。反函數(shù)x=f-1 - y的定義域、值域分別是函數(shù)y=f - x的值域、定義域。最具有代表性的反函數(shù)就是對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)。

一般地，如果x與y關(guān)于某種對應(yīng)關(guān)系f - x相對應(yīng)，y=f - x，則y=f - x的反函數(shù)為x=f-1 - y。存在反函數(shù)（默認為單值函數(shù)）的條件是原函數(shù)必須是一一對應(yīng)的（不一定是整個數(shù)域內(nèi)的）。注意：上標"?1"指的是函數(shù)冪，但不是指數(shù)冪。

定義

設(shè)函數(shù)y=f - x的定義域是D，值域是f - D。如果對于值域f - D中的每一個y，在D中有且只有一個x使得g - y=x，則按此對應(yīng)法則得到了一個定義在f - D上的函數(shù)，并把該函數(shù)稱為函數(shù)y=f - x的反函數(shù)，記為

由該定義可以很快得出函數(shù)f的定義域D和值域f - D恰好就是反函數(shù)f-1的值域和定義域，并且f-1的反函數(shù)就是f，也就是說，函數(shù)f和f-1互為反函數(shù)，即：

反函數(shù)與原函數(shù)的復(fù)合函數(shù)等于x，即：

習(xí)慣上我們用x來表示自變量，用y來表示因變量，于是函數(shù)y=f - x的反函數(shù)通常寫成。

例如，函數(shù)的反函數(shù)是。

相對于反函數(shù)y=f-1 - x來說，原來的函數(shù)y=f - x稱為直接函數(shù)。反函數(shù)和直接函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。這是因為，如果設(shè) - a，b是y=f - x的圖象上任意一點，即b=f - a。根據(jù)反函數(shù)的定義，有a=f-1 - b，即點 - b，a在反函數(shù)y=f-1 - x的圖象上。而點 - a，b和 - b，a關(guān)于直線y=x對稱，由 - a，b的任意性可知f和f-1關(guān)于y=x對稱。

于是我們可以知道，如果兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對稱，那么這兩個函數(shù)互為反函數(shù)。這也可以看做是反函數(shù)的一個幾何定義。

在微積分里，f - n - x是用來指f的n次微分的。

若一函數(shù)有反函數(shù)，此函數(shù)便稱為可逆的（invertible）。

存在性

概述

一函數(shù)f若要是一明確的反函數(shù)，它必須是一雙射函數(shù)，即：

1.（單射）陪域上的每一元素都必須只被f映射到一次：不然其反函數(shù)必將元素映射到超過一個的值上去。

2.（滿射）陪域上的每一元素都必須被f映射到：不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函數(shù)。

若f為一實變函數(shù)，則若f有一明確反函數(shù)，它必通過水平線測試，即一放在f圖上的水平線必對所有實數(shù)k，通過且只通過一次。

反函數(shù)存在定理

定理：嚴格單調(diào)函數(shù)必定有嚴格單調(diào)的反函數(shù)，并且二者單調(diào)性相同。

在證明這個定理之前先介紹函數(shù)的嚴格單調(diào)性。

設(shè)y=f - x的定義域為D，值域為f - D。如果對D中任意兩點x1和x2，當(dāng)x1<x2時，有y1<y2，則稱y=f - x在D上嚴格單調(diào)遞增；當(dāng)x1<x2時，有y1>y2，則稱y=f - x在D上嚴格單調(diào)遞減。

證明：設(shè)f在D上嚴格單增，對任一y∈f - D，有x∈D使f - x=y。

而由于f的嚴格單增性，對D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y?？傊苁筬 - x=y的x只有一個，根據(jù)反函數(shù)的定義，f存在反函數(shù)f-1。

任取f - D中的兩點y1和y2，設(shè)y1<y2。因為f存在反函數(shù)f-1，所以有x1=f-1 - y1，x2=f-1 - y2，且x1、x2∈D。

若此時x1≥x2，根據(jù)f的嚴格單增性，有y1≥y2，這和我們假設(shè)的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即當(dāng)y1<y2時，有f-1 - y1<f-1 - y2。這就證明了反函數(shù)f-1也是嚴格單增的。

如果f在D上嚴格單減，證明類似。

性質(zhì)

（1）函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射；

（2）一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；

（3）大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（當(dāng)函數(shù)y=f - x，定義域是{0}且f - x=C（其中C是常數(shù)），則函數(shù)f - x是偶函數(shù)且有反函數(shù)，其反函數(shù)的定義域是{C}，值域為{0}）。奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數(shù)。若一個奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。

（4）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性；

（5）嚴增（減）的函數(shù)一定有嚴格增（減）的反函數(shù)；

（6）反函數(shù)是相互的且具有唯一性；

（7）定義域、值域相反對應(yīng)法則互逆（三反）；

（8）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：如果x=f - y在開區(qū)間I上嚴格單調(diào)，可導(dǎo)，且f' - y≠0，那么它的反函數(shù)y=f-1 - x在區(qū)間S={x|x=f - y，y∈I}內(nèi)也可導(dǎo)，且：

（9）y=x的反函數(shù)是它本身。

反函數(shù)的符號

反函數(shù)的符號記為f-1 - x，在中國的教材里，反三角函數(shù)記為arcsin、arccos等等，但是在歐美一些國家，sinx的反函數(shù)記為sin-1 - x。

x-1表示1/x，那么f-1 - x與這是否有些關(guān)系呢？下面舉幾個例子來說明這點。當(dāng)然，f-1 - x肯定和1/f - x不等，但是確實有與之很相近的性質(zhì)。

反函數(shù)的反函數(shù)

為了好看以及對比，我有時會把f - x寫成f對比，我把我想各位應(yīng)該很好理解，反函數(shù)的反函數(shù)當(dāng)然就是原函數(shù)，寫成數(shù)學(xué)語言就是 - f-1-1=f。看看，這是不是有點像指數(shù)的運算法則：1/x-1=x呢？

反函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

如果函數(shù)x=f - y在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f' - y不等于零，則它的反函數(shù)y=f-1 - x在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且或。

用自然語言來說就是，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。這話有點繞，不過應(yīng)該能讀懂，這個似乎就進一步揭示了反函數(shù)符號的意義。

在這里要說明的是，y=f - x的反函數(shù)應(yīng)該是x=f-1 - y。只不過在通常的情況下，我們將x寫作y，y寫作x，以符合習(xí)慣。所以，雖然反函數(shù)和直接函數(shù)不互為倒數(shù)，但是各自導(dǎo)函數(shù)求出后，二者卻是互為倒數(shù)。

反函數(shù)的復(fù)合函數(shù)

這個內(nèi)容屬于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容了。大伙想想函數(shù)里面最簡單最基本的函數(shù)是什么函數(shù)？不用說，肯定就是我們的恒等函數(shù)y=x，這就和我們數(shù)字里面的1一般地位，所以，我們記恒等函數(shù)為“1x”。

數(shù)字的基本運算就是加減乘除，而函數(shù)也有運算，雖然也有加減乘除，但是屬于函數(shù)自己的，就是復(fù)合與反函數(shù)。我們知道在實數(shù)里，x與1/x的乘積等于1，在函數(shù)的復(fù)合運算里，也有類似的性質(zhì)，函數(shù)f和g的復(fù)合記為f○g，那么下面的性質(zhì)成立：f-1○f=1x；1x○f=f○1x=f。

這第一個式子已經(jīng)說明很多問題。實際上，這些都是屬于高等代數(shù)的內(nèi)容，在每一個封閉的系統(tǒng)里，都有一個“單位1”，都有自己的運算法則，函數(shù)里的就是1x，實數(shù)里的就是數(shù)字1等等。要深刻理解這些，也只有大家接觸群論以后才會深入理解。這里也只是做點皮毛而已。我將在后面另起一文，介紹函數(shù)的“冪”的概念，就如同數(shù)的冪一樣。

說明

（1）在函數(shù)x=f-1 - y中，y是自變量，x是因變量，但習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，用y表示因變量，為此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f-1 - y中的字母x、y，把它改寫成y=f-1 - x，今后凡無特別說明，函數(shù)y=f - x的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過改寫的形式。

⑵反函數(shù)也是函數(shù)，因為它符合函數(shù)的定義.從反函數(shù)的定義可知，對于任意一個函數(shù)y=f - x來說，不一定有反函數(shù)，若函數(shù)y=f - x有反函數(shù)y=f-1 - x，那么函數(shù)y=f-1 - x的反函數(shù)就是y=f - x，這就是說，函數(shù)y=f - x與y=f-1 - x互為反函數(shù)。

⑶互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自定義域內(nèi)有相同的單調(diào)性。單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)，如二次函數(shù)在R內(nèi)不是反函數(shù)，但在其單調(diào)增（減）的定義域內(nèi)，可以求反函數(shù)；另外，反比例函數(shù)等函數(shù)不單調(diào)，也可求反函數(shù)。

⑷從映射的定義可知，函數(shù)y=f - x是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)y=f-1 - x是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)y=f - x的定義域正好是它的反函數(shù)y=f-1 - x的值域；函數(shù)y=f - x的值域正好是它的反函數(shù)y=f-1 - x的定義域（如下表）：

函數(shù)：y=f - x；

反函數(shù)：y=f-1 - x；

定義域：A，C；

值域：C，A；

- 5上述定義用“逆”映射概念可敘述為：

若確定函數(shù)y=f - x的映射f是函數(shù)的定義域到值域上的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f-1所確定的函數(shù)y=f-1 - x就叫做函數(shù)y=f - x的反函數(shù).反函數(shù)y=f-1 - x的定義域、值域分別對應(yīng)原函數(shù)y=f - x的值域、定義域.。開始的兩個例子：s=vt記為f - t=vt,則它的反函數(shù)就可以寫為f-1 - s=s/v，同樣y=2x+6記為f - x=2x+6，則它的反函數(shù)為：f-1 - x=x/2-3.

有時是反函數(shù)需要進行分類討論，如：f - x=x+1/x，需將x進行分類討論：在x大于0時的情況，x小于0的情況，多是要注意的。

一般分數(shù)函數(shù)y= - ax+b/ - cx+d（其中ad≠bc）的反函數(shù)可以表示為y= - b-dx/ - cx-a，這可以通過簡單的四則運算來證明。