大數(shù)法則，又稱大數(shù)定律 - law-of-large-numbers，概率論歷史上第一個極限定理，是一種描述當試驗次數(shù)很大時所呈現(xiàn)的概率性質(zhì)的定律，由數(shù)學家伯努利研究而出。是概率論中討論隨機變量序列的算術(shù)平均值向隨機變量各數(shù)學期望的算術(shù)平均值收斂的定律。大數(shù)定律并不是經(jīng)驗規(guī)律，而是在一些附加條件上經(jīng)嚴格證明了的定理，它是一種自然規(guī)律因而通常不叫定理而是大數(shù)“定律”。大數(shù)定律分為弱大數(shù)定律和強大數(shù)定律。

定義

大數(shù)定律 - law?of?large?numbers，又稱?大數(shù)定理，是一種描述當試驗次數(shù)很大時所呈現(xiàn)的概率性質(zhì)的定律。但是注意到，雖然通常最常見的稱呼是大數(shù)“定律”，但是大數(shù)定律并不是經(jīng)驗規(guī)律，而是嚴格證明了的定理。有些隨機事件無規(guī)律可循，但不少是有規(guī)律的，這些“有規(guī)律的隨機事件”在大量重復出現(xiàn)的條件下，往往呈現(xiàn)幾乎必然的統(tǒng)計特性，這個規(guī)律就是大數(shù)定律。確切的說大數(shù)定律是以確切的數(shù)學形式表達了大量重復出現(xiàn)的隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性和平均結(jié)果的穩(wěn)定性，并討論了它們成立的條件。

簡單地說，大數(shù)定理就是“當試驗次數(shù)足夠多時，事件發(fā)生的頻率無窮接近于該事件發(fā)生的概率”。該描述即貝努利大數(shù)定律。

發(fā)展歷史

伯努利是第一個研究這一問題的數(shù)學家，他于1713年首先提出后人稱之為“大數(shù)定律”的極限定理。后來泊松、切比雪夫、馬爾科夫、格涅堅科等眾多的數(shù)學家都有重大成就，弱大數(shù)定律的研究已經(jīng)趨于完善，最好的結(jié)果是屬于格涅堅科，他找到了弱大數(shù)定律成立的充要條件，而且沒有任何獨立性或同分布的要求。在二十世紀初，博雷爾引入測度論的方法之后，將伯努利大數(shù)定理推廣到強大數(shù)定律開創(chuàng)了強大數(shù)定律的研究，之后工作最有成就的屬于柯爾莫哥洛夫，他不但完成了概率的公理化，還找到了獨立同分布下的強大數(shù)定律的充要條件。如今，對強大數(shù)定律的研究仍然是難題，數(shù)學家們在向著不獨立隨機變量序列服從強大數(shù)定律的條件努力。

舉例說明

例如，在重復投擲一枚硬幣的隨機試驗中，觀測投擲了n次硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù)。不同的n次試驗，出現(xiàn)正面的頻率（出現(xiàn)正面次數(shù)與n之比）可能不同，但當試驗的次數(shù)n越來越大時，出現(xiàn)正面的頻率將大體上逐漸接近于1/2。又如稱量某一物體的重量，假如衡器不存在系統(tǒng)偏差，由于衡器的精度等各種因素的影響，對同一物體重復稱量多次，可能得到多個不同的重量數(shù)值，但它們的算術(shù)平均值一般來說將隨稱量次數(shù)的增加而逐漸接近于物體的真實重量。

幾乎處處收斂與依概率收斂不同。生活例子：開始上課了，慢慢地大家都安靜下來，這是幾乎處處收斂。絕大多數(shù)同學都安靜下來，但每一個人都在不同的時間不安靜，這是依概率收斂。

數(shù)學家

拉普拉斯

拉普拉斯，1749年3月23日生于法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，曾任巴黎軍事學院數(shù)學教授，1795年任巴黎綜合工科學校教授，后又在高等師范學校任教授。1799年他還擔任過法國經(jīng)度局局長，并在拿破侖政府中任過6個星期的內(nèi)政部長，1816年被選為法蘭西學院院士，1817年任該院院長，1827年3月5日卒于巴黎。

拉普拉斯在研究天體問題的過程中，創(chuàng)造和發(fā)展了許多數(shù)學的方法，以他的名字命名的拉普拉斯變換、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科學技術(shù)的各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。?

德莫佛

德莫佛，法文原名?Abraham?de?Moivre，（1667.05.26法國-1754.11.27英國倫敦），法國數(shù)學家。德莫佛對數(shù)學最著名的貢獻是德莫佛公式（de?Moivre?Formula）和德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，以及他對正態(tài)分布和概率理論的研究。德莫佛還寫了一本概率理論的教科書，The?Doctrine?of?Chances，據(jù)說這本書被投機主義者（gambler）高度贊揚。德莫佛是解析幾何和概率理論的先驅(qū)之一；他還最早發(fā)現(xiàn)了一個二項分布的近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面。

大數(shù)法則又稱“大數(shù)定律”或“平均法則”。人們在長期的實踐中發(fā)現(xiàn)，在隨機現(xiàn)象的大量重復中往往出現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，即大數(shù)法則。此法則的意義是：風險單位數(shù)量愈多，實際損失的結(jié)果會愈接近從無限單位數(shù)量得出的預期損失可能的結(jié)果。據(jù)此，保險人就可以比較精確的預測危險，合理的厘定保險費率，使在保險期限內(nèi)收取的保險費和損失賠償及其它費用開支相平衡。大數(shù)法則是近代保險業(yè)賴以建立的數(shù)理基礎(chǔ)。保險公司正是利用在個別情形下存在的不確定性將在大數(shù)中消失的這種規(guī)則性，來分析承保標的發(fā)生損失的相對穩(wěn)定性。按照大數(shù)法則，保險公司承保的每類標的數(shù)目必須足夠大，否則，缺少一定的數(shù)量基礎(chǔ)，就不能產(chǎn)生所需要的數(shù)量規(guī)律。但是，任何一家保險公司都有它的局限性，即承保的具有同一風險性質(zhì)的單位是有限的，這就需要通過再保險來擴大風險單位及風險分散面。

常見類型

由于隨機變量序列向常數(shù)的收斂有多種不同的形式，按其收斂為依概率收斂，以概率?1?收斂或均方收斂，分別有弱大數(shù)定律、強大數(shù)定律和均方大數(shù)定律。

常用的大數(shù)定律有：伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律、柯爾莫哥洛夫強大數(shù)定律和重對數(shù)定律。

設(shè)有一隨機變量序列，假如它具有形如（1）的性質(zhì)，則稱該隨機變量服從大數(shù)定律。

伯努利大數(shù)定律

設(shè)μ_n為n重伯努利實驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p為每次實驗中A出現(xiàn)的概率，則對任意的ε>0，有（2）成立。

切比雪夫大數(shù)定律

設(shè){X_n}為一列兩兩不相關(guān)的隨機變量序列，若每個X_i的方差存在，且有共同的上界，即Var - X_i小于或等于c,則{X_n}服從大數(shù)定律，即對任意的ε>0，（1）式成立。

馬爾可夫大數(shù)定律

對隨機變量序列{X_n}，若（3）成立，則{X_n}服從大數(shù)定律，即對任意的ε>0，（1）式成立。

辛欽大數(shù)定律

設(shè){X_n}為獨立同分布的隨機變量序列，若X_i的數(shù)學期望存在，則{X_n}服從大數(shù)定律，即對任意的ε>0，（1）成立。