當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。共軛復(fù)數(shù)，兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù) - conjugatecomplexnumber。當(dāng)虛部不為零時(shí)，共軛復(fù)數(shù)就是實(shí)部相等，虛部相反,如果虛部為零，其共軛復(fù)數(shù)就是自身。

（當(dāng)虛部不等于0時(shí)也叫共軛虛數(shù)）復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作zˊ。同時(shí),復(fù)數(shù)zˊ稱為復(fù)數(shù)z的復(fù)共軛 - complexconjugate。共軛復(fù)數(shù)有些有趣的性質(zhì)，還有一些四則運(yùn)算性質(zhì)。例如復(fù)數(shù)的乘法法則：把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，把實(shí)部與虛部分別合并。兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)。

詞語(yǔ)定義

兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)

- conjugate complex number。（當(dāng)虛部不等于0時(shí)也叫共軛虛數(shù)）復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作zˊ。

同時(shí), 復(fù)數(shù)zˊ稱為復(fù)數(shù)z的復(fù)共軛 - complex conjugate.

根據(jù)定義，若z=a+bi - a，b∈R，則 zˊ=a－bi（a,b∈R。共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱（詳見附圖）。兩個(gè)復(fù)數(shù):x+yi與x-yi稱為共軛復(fù)數(shù),它們的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù).在復(fù)平面上.表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于X軸對(duì)稱.而這一點(diǎn)正是"共軛"一詞的來源.兩頭牛平行地拉一部犁,它們的肩膀上要共架一個(gè)橫梁,這橫梁就叫做"軛".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加個(gè)"一"就表示X-Yi,或相反。

共軛復(fù)數(shù)有些有趣的性質(zhì):

︱x+yi︱=︱x-yi︱

- x+yi* - x-yi=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2

另外還有一些四則運(yùn)算性質(zhì).

代數(shù)特征

（1）|z|=|z′|。

（2）z+z′=2a（實(shí)數(shù)），z－z′=2bi。

（3）z·z′=|z|^2=a^2+b^2（實(shí)數(shù)）。

加法法則

復(fù)數(shù)的加法法則：設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)。兩者和的實(shí)部是原來兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部的和，它的虛部是原來兩個(gè)虛部的和。兩個(gè)復(fù)數(shù)的和依然是復(fù)數(shù)。即? - a+bi± - c+di= - a±c+ - b±di。

減法法則

復(fù)數(shù)的減法按照以下規(guī)定的法則進(jìn)行：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則它們的差是 - a+bi- - c+di= - a-c+ - b-di。兩個(gè)復(fù)數(shù)的差依然是復(fù)數(shù)，它的實(shí)部是原來兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部的差，它的虛部是原來兩個(gè)虛部的差。

乘法法則

復(fù)數(shù)的乘法法則：把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，結(jié)果中i^2?=?-1，把實(shí)部與虛部分別合并。兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)。

即：z1z2=（a+bi - c+di=ac+adi+bci+bdi2= - ac－bd+ - bc+adi。

除法法則

復(fù)數(shù)除法定義：滿足（c+di - x+yi= - a+bi）的復(fù)數(shù)x+yi - x,y∈R）叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商運(yùn)算方法：將分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再用乘法法則運(yùn)算。

開方法則

若z^n=r - cosθ+isinθ），則z=n√r[cos - 2kπ+θ）+isin - 2kπ+θ）]（k=0，1，2，3-n-1）

共軛法則

z=x+iy的共軛，標(biāo)注為z*就是共軛數(shù)z*=x-iy

即：zz*=（x+iy - x-iy=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2

即，當(dāng)一個(gè)復(fù)數(shù)乘以他的共軛數(shù)，結(jié)果是實(shí)數(shù)。

z=x+iy和z*=x-iy?被稱作共軛對(duì)

運(yùn)算特征

（1） - z1+z2′=z1′+z2′

（2） - z1-z2′=z1′-z2′

（3） - z1·z2′=z1′·z2′

（4） - z1/z2′=z1′/z2′ - z2≠0

總結(jié)：和（差、積、商）的共軛等于共軛的和（差、積、商）。

運(yùn)算性質(zhì)

①|(zhì)z1·z2|=|z1|·|z2|

②③┃|z1|－|z2|┃≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|

|z1－z2|=|z1－z2|，是復(fù)平面的兩點(diǎn)間距離公式，由此幾何意義可以推出復(fù)平面上的直線、圓、雙曲線、橢圓的方程以及拋物線

PS

:z′表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù) - 實(shí)際形式為z上一橫，z″表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù) - 為z上兩橫，即z〃=z。