在復(fù)數(shù)域中，負(fù)數(shù)-1的平方根記為i - 即i2=-1，稱為虛數(shù)或虛數(shù)單位。一個(gè)實(shí)數(shù)乘以i稱為純虛數(shù)，例如5i?就是一個(gè)純虛數(shù)。

定義

形如的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，其中是復(fù)數(shù)的實(shí)部，b是復(fù)數(shù)的虛部，全體復(fù)數(shù)組成的集合叫作復(fù)數(shù)集，用字母C表示。

復(fù)數(shù)，當(dāng)b=0時(shí)，就是實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，叫作虛數(shù)；當(dāng)時(shí)．叫作純虛數(shù)。

把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫作復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。

幾何意義

從復(fù)數(shù)相等的定義我們知道，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì) - a，b唯一確定，這樣我們可以用建立了直角坐標(biāo)系的平面來(lái)表示復(fù)數(shù)。

建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫作復(fù)平面，x軸叫作實(shí)軸，y軸叫作虛軸，這樣，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。

復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)及向量是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

從復(fù)平面上看,純虛數(shù)顯然有如下性質(zhì)?z - z≠0為純虛數(shù)的充要條件是:對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a,|z+a|=|z-a|。此性質(zhì)可用來(lái)求解某些模方程 - 組。

判別

實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的判別方法

學(xué)習(xí)了純虛數(shù)的定義以后，通過這類題來(lái)鞏固對(duì)純虛數(shù)的理解，請(qǐng)看例題．

例題:m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)?虛數(shù)?純虛數(shù)?

分析：要明確什么是復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部?何時(shí)它們有意義?何時(shí)它們?yōu)榱慊蚍橇?從而由實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)分別對(duì)實(shí)部與虛部的要求進(jìn)行討論。

解：?實(shí)部：。

虛部：。

?當(dāng)時(shí)，Z是實(shí)數(shù)；

當(dāng)?且時(shí)，Z是虛數(shù)；

當(dāng)或時(shí)，Z是純虛數(shù)。

說明：當(dāng)時(shí)，實(shí)部無(wú)意義，在討論過程中應(yīng)排除掉。

小結(jié)：對(duì)這類題可歸納為如下題型。

欲判別復(fù)數(shù)

可化為解代數(shù)方程或不等式。

在實(shí)部、虛部都有定義的前提下：

實(shí)數(shù) - 對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上；；

虛數(shù) - 對(duì)應(yīng)點(diǎn)不在實(shí)軸上：；

純虛數(shù) - 對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上：且；

對(duì)應(yīng)點(diǎn)在原點(diǎn)：解方程組，

對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上方：解不等式

對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸左側(cè)：解不等式；

對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面的第一象限內(nèi)：解不等式組

其他情況類推．但應(yīng)注意所討論的范圍必須在的定義域內(nèi)。