斐波那契數(shù)列（意大利語:SuccessionediFibonacci，又稱黃金分割數(shù)列、費(fèi)波那西數(shù)列、費(fèi)波拿契數(shù)、費(fèi)氏數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F(xiàn)1=1，F(xiàn)n=F - n-1+F - n-2（n>=2，n∈N*），用文字來說，就是斐波那契數(shù)列列由0和1開始，之后的斐波那契數(shù)列系數(shù)就由之前的兩數(shù)相加。特別指出：0不是第一項(xiàng)，而是第零項(xiàng)。在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列都有直接的應(yīng)用，為此，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)從1960年代起出版了《斐波納契數(shù)列》季刊，專門刊載這方面的研究成果。

通項(xiàng)公式

遞推公式

斐波那契數(shù)列：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

如果設(shè)F - n）為該數(shù)列的第n項(xiàng)（n∈N*），那么這句話可以寫成如下形式：

顯然這是一個(gè)線性遞推數(shù)列。

黃金分割

有趣的是：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式卻是用無理數(shù)來表達(dá)的。而且當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值越來越逼近黃金分割0.618.（或者說后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值小數(shù)部分越來越逼近黃金分割0.618、前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來越逼近黃金分割0.618）

1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666…，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889……

越到后面，這些比值越接近黃金比.

與黃金分割的證明

a[n+2]=a[n+1]+a[n]。

兩邊同時(shí)除以a[n+1]得到：

a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

若a[n+1]/a[n]的極限存在，設(shè)其極限為x，

則lim[n->；；∞] - a[n+2]/a[n+1]=lim[n->；；∞] - a[n+1]/a[n]=x。

所以x=1+1/x。

即x2=x+1。

所以極限是黃金分割比。

相關(guān)特性

平方與前后項(xiàng)

從第二項(xiàng)開始，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1，每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1。

如：第二項(xiàng)1的平方比它的前一項(xiàng)1和它的后一項(xiàng)2的積2少1，第三項(xiàng)2的平方比它的前一項(xiàng)1和它的后一項(xiàng)3的積3多1。

（注：奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是指項(xiàng)數(shù)的奇偶，而并不是指數(shù)列的數(shù)字本身的奇偶，比如從數(shù)列第二項(xiàng)1開始數(shù)，第4項(xiàng)5是奇數(shù)，但它是偶數(shù)項(xiàng)，如果認(rèn)為5是奇數(shù)項(xiàng)，那就誤解題意，怎么都說不通）

證明經(jīng)計(jì)算可得：[f - n]^2-f - n-1f - n+1= - -1^ - n-1

與集合子集

斐波那契數(shù)列的第n+2項(xiàng)同時(shí)也代表了集合{1,2,…,n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個(gè)數(shù)。

求和

奇數(shù)項(xiàng)求和

偶數(shù)項(xiàng)求和

平方求和

加減求和

和項(xiàng)數(shù)公式

奇數(shù)項(xiàng)與某兩項(xiàng)的平方

偶數(shù)項(xiàng)與某兩項(xiàng)的平方

隔項(xiàng)關(guān)系

f - 2n-2m-2[f - 2n+f - 2n+2]=f - 2m+2+f - 4n-2m[n〉m≥-1，且n≥1]

兩倍項(xiàng)關(guān)系

f - 2n/f - n=f - n-1+f - n+1