數(shù)列求和 - 對按照一定規(guī)律排列的數(shù)進(jìn)行求和
數(shù)列求和對按照一定規(guī)律排列的數(shù)進(jìn)行求和。求Sn實質(zhì)上是求{an}的通項公式，應(yīng)注意對其含義的理解。常見的方法有公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、數(shù)學(xué)歸納法、通項化歸、并項求和。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要有一定的技巧。
公式法
等差數(shù)列求和公式：
（首項+末項）×項數(shù)/2
舉例：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9/2=45
等比數(shù)列求和公式：
差比數(shù)列求和公式：
a:等差數(shù)列首項
d:等差數(shù)列公差
e:等比數(shù)列首項
q:等比數(shù)列公比
其他
錯位相減法
適用題型：適用于通項公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式（等差等比數(shù)列相乘）
{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.
例如：
Tn=上述式子/ - 1-q
此外.①式可變形為
Sn為{bn}的前n項和.
此形式更理解也好記
阿貝爾求和公式
該公式又叫做分部求和公式，是離散型的分部積分法，最早由數(shù)學(xué)家阿貝爾提出。這個方法也適合解決等差等比數(shù)列相乘的數(shù)列求和，但比起上面的錯位相減法，該方法方便快捷并且證明十分容易，考試中先寫出證明過程再直接代公式即可。
設(shè){an}為公差為d的等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，Tn為數(shù)列{anbn}的前n項和，則：
再利用等比數(shù)列的求和公式把Sn寫出來即可。（這里不寫是因為化簡后的公式十分復(fù)雜，字母繁多，不如具體問題具體分析）
證明：
事實上因為，所以
括號里面又含有等比數(shù)列前n-1項和（首項和公比均為q），所以這個方法看起來長，但只要反復(fù)運用等比數(shù)列求和公式便可以求出Tn。
倒序相加法
這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個 - a1+an
Sn=a1+a2+a3+……+an
Sn=an+an-1+an-2……+a1
上下相加得Sn= - a1+ann/2
分組法
有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。
例如：an=2n+n-1，可看做是2n與n-1的和
Sn=a1+a2+…+an
=2+0+22+1+23+2+…+2n+n-1
= - 2+22+…+2n+ - 0+1+…+n-1
=2 - 2n-1/ - 2-1+ - 0+n-1n/2
=2n+1+n - n-1/2-2
裂項相消法
適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f - n+1－f - n，然后累加時抵消中間的許多項。
常用公式：
（1）
（2）
（3）
（4）（當(dāng)a≠b時）
（5）
[例]求數(shù)列an=1 - n+1的前n項和.
解：an=1 - n+1=（裂項）
則Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1-1/ - n+1（裂項求和）
=1-1/ - n+1
=n/ - n+1
小結(jié)：此類變形的特點是將原數(shù)列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意：余下的項具有如下的特點
1、余下的項前后的位置前后是對稱的。
2、余下的項前后的正負(fù)性是相反的。
數(shù)學(xué)歸納法
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：
（1）證明當(dāng)n取第一個值時命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個值，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。
例：
求證：
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+.……+n - n+1 - n+2 - n+3=[n - n+1 - n+2 - n+3 - n+4]/5
證明：
當(dāng)n=1時，有：
1×2×3×4=24=2×3×4×5/5
假設(shè)命題在n=k時成立，于是：
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+.……+k - k+1 - k+2 - k+3=[k - k+1 - k+2 - k+3 - k+4]/5
則當(dāng)n=k+1時有：
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+……+ - k+1 - k+2 - k+3 - k+4
=1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+……+k - k+1 - k+2 - k+3+ - k+1 - k+2 - k+3 - k+4
=[k - k+1 - k+2 - k+3 - k+4]/5+ - k+1 - k+2 - k+3 - k+4
= - k+1 - k+2 - k+3 - k+4* - k/5+1
=[ - k+1 - k+2 - k+3 - k+4 - k+5]/5
即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證。
通項化歸法
先將通項公式進(jìn)行化簡，再進(jìn)行求和。
如：求數(shù)列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。
并項求和法
（常采用先試探后求和的方法）
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
方法一：（并項）
求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再相減。
方法二：
（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]
方法三：
構(gòu)造新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合。
an=n - -1^（n+1）
求和公式
通項式為K^m（m為自然數(shù)）的數(shù)列求和公式
系數(shù)數(shù)列為
l為{1；1/2；1/12；0；-1/720；0；……}其除第二項的所有偶數(shù)項皆為0,證明略.
例如m等于2求和公式
通項式為多項式的數(shù)列求和公式
通項式為多項式的數(shù)列求和公式為其中各項求和公式簡單的線性組合。不做贅述。
數(shù)列求和極限
常用方法有：
通過恒等變形化為可用極限四則運算法則的情形；
適當(dāng)放大縮小法則；
化為積分和利用定積分求極限；
利用數(shù)值級數(shù)求和的方法。