法國數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的），后世稱傅里葉級數(shù)為一種特殊的三角級數(shù)，根據(jù)歐拉公式，三角函數(shù)又能化成指數(shù)形式，也稱傅立葉級數(shù)為一種指數(shù)級數(shù)。

來源

法國數(shù)學家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)。他首先證明

多元三角級數(shù)球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級數(shù)的里斯-博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數(shù)曾極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學物理以及工程中都具有重要的應用。

性質

收斂性

傅里葉級數(shù)的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下：

在任何周期內，x - t須絕對可積；

在任一有限區(qū)間中，

x - t只能取有限個最大值或最小值；

在任何有限區(qū)間上，

x - t只能有有限個第一類間斷點。

吉布斯現(xiàn)象：在x - t的不可導點上，

如果我們只取式右邊的無窮級數(shù)中的有限項作和x - t，

那么x - t在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號

正交性

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性。

例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數(shù)學上的的一種抽象化和一般化。

一組n個互相正交的向量必然是線形無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。