勾股數(shù)，又名畢氏三元數(shù)?。勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)。勾股定理：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方（a2+b2=c2）。

簡介

①觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)都是奇數(shù)，且從3起九沒有間斷過。計(jì)算0.5（9-1），0.5（9+1）與0.5（25-1），0.5（25+1），并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出分別能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根據(jù)①的規(guī)律，用n的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想他們之間的兩種相等關(guān)系，并對其中一種猜想加以說明。

③繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過，運(yùn)用上述類似的探索方法，之間用m的代數(shù)式來表示它們的股合弦。

常用套路

簡介

所謂勾股數(shù)，一般是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù) - 例如a,b,c。

即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N

又由于，任何一個(gè)勾股數(shù)組 - a,b,c內(nèi)的三個(gè)數(shù)同時(shí)乘以一個(gè)整數(shù)n得到的新數(shù)組 - na,nb,nc仍然是勾股數(shù)，所以一般我們想找的是a,b,c互質(zhì)的勾股數(shù)組。

公式證明

證明

a=2mn

b=m^2-n^2

c=m^2+n^2

證：假設(shè)a^2+b^2=c^2，這里研究 - a,b=1的情況（如果不等于1則 - a,b|c，兩邊除以 - a,b即可）

如果a,b均奇數(shù)，則a^2+b^2=2 - mod4（奇數(shù)mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一個(gè)偶數(shù)。不妨設(shè)a=2k

等式化為4k^2= - c+b - c-b

顯然b,c同奇偶（否則右邊等于奇數(shù)矛盾）

作代換：M= - c+b/2,N= - c-b/2，顯然M，N為正整數(shù)

往證： - M,N=1

如果存在質(zhì)數(shù)p，使得p|M,p|N,那么p|M+N - =c,p|M-N - =b,從而p|c,p|b,從而p|a，這與 - a,b=1矛盾

所以 - M,N=1得證。

依照算術(shù)基本定理，k^2=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…，其中a1,a2…均為偶數(shù)，p1,p2,p3…均為質(zhì)數(shù)

如果對于某個(gè)pi，M的pi因子個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，那N對應(yīng)的pi因子必為奇數(shù)個(gè)（否則加起來不為偶數(shù)），從而pi|M,pi|N， - M,N=pi>1與剛才的證明矛盾所以對于所有質(zhì)因子,pi^2|M,pi^2|N，即M，N都是平方數(shù)。

設(shè)M=m^2,N=n^2

從而有c+b=2m^2,c-b=2n^2，解得c=m^2+n^2,b=m^2-n^2,從而a=2mn

推廣形式

關(guān)于勾股數(shù)的公式還是有局限的。勾股數(shù)公式可以得到所有的基本勾股數(shù)，但是不可能得到所有的派生勾股數(shù)。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15…，就不能全部有公式計(jì)算出來。

但可以采用同乘以任意整數(shù)的形式來獲取所有解！

其中規(guī)定m>n>0（兩負(fù)數(shù)相乘可抵消固不考慮）， - m,n=1，m和n必須為一奇一偶，t為正整數(shù)

完全公式

公式

a=m，b= - m^2/k-k/2，c= - m^2/k+k/2①其中m≥3

⒈、當(dāng)m確定為任意一個(gè)≥3的奇數(shù)時(shí)，k={1，m^2的所有小于m的因子}

⒉、當(dāng)m確定為任意一個(gè)≥4的偶數(shù)時(shí)，k={m^2/2的所有小于m的偶數(shù)因子}

基本勾股數(shù)與派生勾股數(shù)可以由完全一并求出。例如，當(dāng)m確定為偶數(shù)432時(shí)，因?yàn)閗={432^2/2的所有小于432的偶數(shù)因子}={2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，將m=432及24組不同k值分別代入b= - m^2/k-k/2，c= - m^2/k+k/2；即得直角邊a=432時(shí)，具有24組不同的另一直角邊b和斜邊c，基本勾股數(shù)與派生勾股數(shù)一并求出。而勾股數(shù)的組數(shù)也有公式能直接得到。

組數(shù)N

算術(shù)基本定理：一個(gè)大于1的正整數(shù)n，如果它的標(biāo)準(zhǔn)分解式為n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因數(shù)個(gè)數(shù)為N= - m1+1× - m2+1×……× - mr+1；依據(jù)定理，易得以下結(jié)論

當(dāng)a給定時(shí)，不同勾股數(shù)組a，b，c的組數(shù)N等于①式中k的可取值個(gè)數(shù)

⒈、取奇數(shù)a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，則k的可取值個(gè)數(shù)：

N=[ - 2m1+1× - 2m2+1×……× - 2mr+1－1]/2

⒉、取偶數(shù)a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2/2的所有小于a的偶數(shù)因子}，則k的可取值個(gè)數(shù)：

N=[ - 2m0－1× - 2m1+1× - 2m2+1×……× - 2mr+1－1]/2

其中，p1，p2，……，pr為互不相同的奇素?cái)?shù)，m0，m1，……，mr為冪指數(shù)。

整勾股數(shù)

JAVA編程

常見組合

3，4，5：勾三股四弦五

5，12，13：5·12記一生（13）

6，8，10：連續(xù)的偶數(shù)

8，15，17：八月十五在一起（17）

特殊組合

連續(xù)的勾股數(shù)只有3，4，5

連續(xù)的偶數(shù)勾股數(shù)只有6，8，10

特點(diǎn)

觀察分析上述的勾股數(shù)，可看出它們具有下列二個(gè)特點(diǎn)：

1、直角三角形短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)。

2、一個(gè)直角三角形的周長等于短直角邊的平方與這邊的和。

掌握上述二個(gè)特點(diǎn)，為解一類題提供了方便。

例：直角三角形的三條邊的長度是正整數(shù)，其中一條短直角邊的長度是13，求這個(gè)直角三角形的周長是多少？

用特點(diǎn)1解：設(shè)這個(gè)直角三角形三邊分別為13、x、x+1，則有：169+x2= - x+12，解得x=84，此三角形周長=13+84+85=182。

用特點(diǎn)2解：此直角三角形是以奇數(shù)為邊構(gòu)成的直角三角形，因此周長=169+13=182。