十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時，由于整數(shù)和小數(shù)的轉(zhuǎn)換方法不同，所以先將十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別轉(zhuǎn)換后，再加以合并。而由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是把二進(jìn)制數(shù)首先寫成加權(quán)系數(shù)展開式，然后按十進(jìn)制加法規(guī)則求和，這種做法稱為“按權(quán)相加”法。

數(shù)制簡介

二進(jìn)制

20世紀(jì)被稱作第三次科技革命的重要標(biāo)志之一的計(jì)算機(jī)的發(fā)明與應(yīng)用，其運(yùn)算模式正是二進(jìn)制，二進(jìn)制是計(jì)算技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制。二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù)。它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”，由18世紀(jì)德國數(shù)理哲學(xué)大師萊布尼茲發(fā)現(xiàn)。當(dāng)前的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)使用的基本上是二進(jìn)制系統(tǒng)。

十進(jìn)制

十進(jìn)制計(jì)數(shù)法是相對二進(jìn)制計(jì)數(shù)法而言的,是我們?nèi)粘Ｊ褂米疃嗟挠?jì)數(shù)方法（俗稱“逢十進(jìn)一”）,它的定義是:“每相鄰的兩個計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是十”的計(jì)數(shù)方法,叫做“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”。

二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制

方法一

小數(shù)點(diǎn)前或者整數(shù)要從右到左用二進(jìn)制的每個數(shù)去乘以2的相應(yīng)次方并遞增,小數(shù)點(diǎn)后則是從左往右乘以二的相應(yīng)負(fù)次方并遞減。

例如：二進(jìn)制數(shù)1101.01轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制

1101.01（2）=1*20+0*21+1*22+1*23?+0*2-1+1*2-2=1+0+4+8+0+0.25=13.25（10）

所以總結(jié)起來通用公式為：

abcd.efg - 2=d*20+c*21+b*22+a*23+e*2-1+f*2-2+g*2-3（10）

方法二

或者用下面這種方法：

把二進(jìn)制數(shù)首先寫成加權(quán)系數(shù)展開式，然后按十進(jìn)制加法規(guī)則求和。這種做法稱為"按權(quán)相加"法。

2的0次方是1（任何數(shù)的0次方都是1，0的0次方無意義）

2的1次方是2

2的2次方是4

2的3次方是8

2的4次方是16

2的5次方是32

2的6次方是64

2的7次方是128

2的8次方是256

2的9次方是512

2的10次方是1024

2的11次方是2048

2的12次方是4096

2的13次方是8192

2的14次方是16384

2的15次方是32768

2的16次方是65536

2的17次方是131072

2的18次方是262144

2的19次方是524288

2的20次方是1048576

此時，1101=8+4+0+1=13

再比如：二進(jìn)制數(shù)100011轉(zhuǎn)成十進(jìn)制數(shù)可以看作這樣：

數(shù)字中共有三個1?即第六位一個，第二位一個，第一位一個（從右到左），然后對應(yīng)十進(jìn)制數(shù)即2的0次方+2的1次方+2的5次方，?即

100011=32+0+0+0+2+1=35

十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制

1.十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)

十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)采用"除2取余，逆序排列"法。具體做法是：用2整除十進(jìn)制整數(shù)，可以得到一個商和余數(shù)；再用2去除商，又會得到一個商和余數(shù)，如此進(jìn)行，直到商為0時為止，然后把先得到的余數(shù)作為二進(jìn)制數(shù)的低位有效位，后得到的余數(shù)作為二進(jìn)制數(shù)的高位有效位，依次排列起來。

十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制

如：255=（11111111）B

255/2=127=====余1

127/2=63======余1

63/2=31=======余1

31/2=15=======余1

15/2=7========余1

7/2=3=========余1

3/2=1=========余1

1/2=0=========余1

789=1100010101 - B

789/2=394余1第10位

394/2=197余0第9位

197/2=98余1第8位

98/2=49余0第7位

49/2=24余1第6位

24/2=12余0第5位

12/2=6余0第4位

6/2=3余0第3位

3/2=1余1第2位

1/2得0余1第1位

原理：

眾所周知，二進(jìn)制的基數(shù)為2，我們十進(jìn)制化二進(jìn)制時所除的2就是它的基數(shù)。談到它的原理，就不得不說說關(guān)于位權(quán)的概念。某進(jìn)制計(jì)數(shù)制中各位數(shù)字符號所表示的數(shù)值表示該數(shù)字符號值乘以一個與數(shù)字符號有關(guān)的常數(shù)，該常數(shù)稱為“位權(quán)”。位權(quán)的大小是以基數(shù)為底，數(shù)字符號所處的位置的序號為指數(shù)的整數(shù)次冪。十進(jìn)制數(shù)的百位、十位、個位、十分位的權(quán)分別是10的2次方、10的1次方、10的0次方，10的-1次方。二進(jìn)制數(shù)就是2的n次冪。

按權(quán)展開求和正是非十進(jìn)制化十進(jìn)制的方法。

下面我們開講原理，舉個十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)的例子，假設(shè)十進(jìn)制整數(shù)A化得的二進(jìn)制數(shù)為edcba的形式，那么用上面的方法按權(quán)展開，得：

A=a - 2^0+b - 2^1+c - 2^2+d - 2^3+e - 2^4（后面的和不正是化十進(jìn)制的過程嗎）

假設(shè)該數(shù)未轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制,除以基數(shù)2得：

A/2=a - 2^0/2+b - 2^1/2+c - 2^2/2+d - 2^3/2+e - 2^4/2

注意：a不能整除2，但其他的能整除，因?yàn)樗麄兌及?，而a乘的是1，他本身絕對不包含因數(shù)2，只能余下。

商得：b - 2^0+c - 2^1+d - 2^2+e - 2^3，再除以基數(shù)2余下了b，以此類推。

當(dāng)這個數(shù)不能再被2除時，先余掉的a位數(shù)在原數(shù)低，而后來的余數(shù)數(shù)位高，所以要把所有的余數(shù)反過來寫。正好是edcba

2．十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)采用"乘2取整，順序排列"法。具體做法是：用2乘十進(jìn)制小數(shù)，可以得到積，將積的整數(shù)部分取出，再用2乘余下的小數(shù)部分，又得到一個積，再將積的整數(shù)部分取出，如此進(jìn)行，直到積中的小數(shù)部分為零，此時0或1為二進(jìn)制的最后一位?；蛘哌_(dá)到所要求的精度為止。

然后把取出的整數(shù)部分按順序排列起來，先取的整數(shù)作為二進(jìn)制小數(shù)的高位有效位，后取的整數(shù)作為低位有效位。

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制0.625=（0.101）B

0.625*2=1.25======取出整數(shù)部分1

0.25*2=0.5========取出整數(shù)部分0

0.5*2=1==========取出整數(shù)部分1

0.7=（0.101100110）B

0.7*2=1.4========取出整數(shù)部分1

0.4*2=0.8========取出整數(shù)部分0

0.8*2=1.6========取出整數(shù)部分1

0.6*2=1.2========取出整數(shù)部分1

0.2*2=0.4========取出整數(shù)部分0

0.4*2=0.8========取出整數(shù)部分0

0.8*2=1.6========取出整數(shù)部分1

0.6*2=1.2========取出整數(shù)部分1

0.2*2=0.4========取出整數(shù)部分0

原理：

關(guān)于十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)

假設(shè)一十進(jìn)制小數(shù)B化為了二進(jìn)制小數(shù)0.ab的形式，同樣按權(quán)展開，得B=a - 2^-1+b - 2^-2

因?yàn)樾?shù)部分的位權(quán)是負(fù)次冪，所以我們只能乘2，得2B=a+b（2^-1

注意a變成了整數(shù)部分，我們?nèi)≌麛?shù)正好是取到了a，剩下的小數(shù)部分也如此。

值得一提的是，小數(shù)部分的按權(quán)展開的數(shù)位順數(shù)正好和整數(shù)部分相反，所以不必反向取余數(shù)了。