角平分線定理1是描述角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離定量關(guān)系的定理，也可看作是角平分線的性質(zhì)。

角平分線定理2是將角平分線放到三角形中研究得出的線段等比例關(guān)系的定理，由它以及相關(guān)公式還可以推導(dǎo)出三角形內(nèi)角平分線長(zhǎng)與各線段間的定量關(guān)系。

定理定義

從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的角平分線。

三角形的一個(gè)角（內(nèi)角）的角平分線交其對(duì)邊的點(diǎn)所連成的線段，叫做這個(gè)三角形的一條角平分線。

定理1

角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。

證明：如圖1，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC

∵AD是∠BAC的平分線

∴∠BAD=∠CAD

∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分別為B、C

∴∠ABD=∠ACD=90°

又?AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴CD=BD

故原命題得證。

該命題有逆定理：

逆定理：在角的內(nèi)部到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。

證明：如圖，DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC

∵DB⊥AB，

∴∠DBA=90

同理∴∠DCA=90

在RT△DBA和RT△DCA中，

{DB=DC - 已知）

AD=AD（公共邊）

∴RT△DBA≌RT△DCA（HL）

∴∠BAD=∠CAD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

定理2

三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。

證明：如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF - 定理1

∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF

∴S△ABD：S△ACD=AB：AC

過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G

∵2S△ABD=BD×AG，2S△ACD=CD×AG

∴S△ABD:S△ACD=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

故原命題得證。

該命題有逆定理：

如果三角形一邊上的某個(gè)點(diǎn)與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對(duì)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，那么該點(diǎn)與對(duì)角頂點(diǎn)的連線是三角形的一條角平分線。

證明略。

角平分線長(zhǎng)

由定理2和斯特瓦爾特定理可以推導(dǎo)出三角形內(nèi)的角平分線長(zhǎng)公式。

如右圖3，在△ABC中，AD平分∠BAC

可設(shè)AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，則BC=u+v

由定理2我們知道?AB:AC=BD:CD，所以xv=uy

由斯臺(tái)沃特定理，有w2= - x2v+y2u/ - u+v-uv

用u=xv/y,v=uy/x替換原式中的u和v

即得AD2=xy-uv=AB×AC-BD×DC?

驗(yàn)證推導(dǎo)

已知，如圖4，AM為△ABC的角平分線，求證:

面積法

由三角形面積公式，得

S△ABM= - 1/2·AB·AM·sin∠BAM

S△ACM= - 1/2·AC·AM·sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAM=∠CAM

∴sin∠BAM=sin∠CAM

∴S△ABM:S△ACM=AB:AC

根據(jù)：等高底共線，面積比=底長(zhǎng)比

可得：S△ABM:S△ACM=MB:MC，則AB:AC=MB:MC

相似法

過(guò)C作CN∥AB，交AM的延長(zhǎng)線于N

∵CN∥AB

∴∠ABC=∠BCN

又?∠AMB=∠CMN

∴△ABM∽△NCM

∴AB:NC=BM:CM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAN=∠CAN

又?∠BAN=∠ANC

∴∠CAN=∠ANC

∴AC=CN

∴AB:AC=MB:MC

（過(guò)M作MN∥AB交AC于N也可證明）

正弦定理法

作△ABC的外接圓，AM交圓于D

由正弦定理，得

AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,

AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAM=∠CAM

又∠AMB+∠AMC=180°

∴sin∠BAM=sin∠CAM

sin∠AMB=sin∠AMC

∴AB:AC=MB:MC

應(yīng)用例子

三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)外角平分線內(nèi)、外分對(duì)邊與其延長(zhǎng)線所得的兩條線段與夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。