對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函數(shù)y=f（x）叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期，事實上，任何一個常數(shù)kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期。如果在所有正周期中有一個最小的，則稱它是函數(shù)f（x）的最小正周期。由定義可得：周期函數(shù)f（x）的周期T是與x無關(guān)的非零常數(shù)，且周期函數(shù)不一定有最小正周期。故討論時可通過解關(guān)于T的方程f - X+T- f - X=0，若能解出與X無關(guān)的非零常數(shù)T便可斷定函數(shù)f - X）是周期函數(shù)，若這樣的T不存在則f - X）為非周期函數(shù)。

定義

對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個非零常數(shù)t，使得對于定義域內(nèi)每一個x，關(guān)系式f（x+t）=f（x）都能成立，那么函數(shù)y=f（x）稱為周期函數(shù)。常數(shù)t稱為該函數(shù)的周期。如果所有周期中存在最小正數(shù)t，那么t稱為函數(shù)y=f（x）的最小正周期，簡稱“周期”。

性質(zhì)

周期函數(shù)的性質(zhì)共分以下幾個類型：

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，則-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，則nT（n為任意非零整數(shù)）也是f（x）的周期。

（3）若T1與T2都是f（x）的周期，則T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整數(shù)倍。

（5）若T1、T2是f（x）的兩個周期，且T1/T2是無理數(shù)，則f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函數(shù)f（x）的定義域M必定是至少一方無界的集合。

判定定理

周期函數(shù)定理，一共分以下幾個類型。

定理1

若f（x）是在數(shù)集M上以T*為最小正周期的周期函數(shù)，則K?f（x）+C（K≠0）和1/?f（x）分別是集M和集{X/?f（x）?≠0，X?∈M}上的以T*為最小正周期的周期函數(shù)。

證：

∵T*是f（x）的周期，∴對?有X±T*?且f（x+T*）=?f（x），∴K?f（x）+C=K?f（x+T*）+C，

∴K?f（x）+C也是M上以T*為周期的周期函數(shù)。

假設(shè)T*?不是Kf（x）+C的最小正周期，則必存在T’（0<T’<T*）是K?f（x）+C的周期，則對T’（0<T’<T*）是K?f（x）+C的周期，有K?f（x+T’）+C=K?f（x）?+C?，K[f（x+T’）-?f（x）]=0，∵K≠0，∴f（x+T’）-?f（x）=0，∴f（x+T’）=?f（x），

∴T’是f（x）的周期，與T*是f（x）的最小正周期矛盾，∴T*也是K?f（x）+C的最小正周期。

同理可證1/?f（x）是集{X/?f（x）?≠0，X?}上的以T*為最小正周期的周期函數(shù)。

定理2

若f（x）是集M上以T*為最小正周期的周期函數(shù)，則f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/?a為最小正周期的周期函數(shù)，（其中a、b為常數(shù)）。

證：

先證f（ax+b）的周期。

∵T*是f（x）的周期，∴f（x±T*）=f（x），有X±T*∈M，以ax+b替換x得，f（ax±T*+b）=f（ax+b），此時ax+b∈M，提取a為公因式得，f[a（x+T*/a）+b]=f（ax+b）∴T*/a是f（ax+b）的周期。

再證是f（ax+b）的最小正周期。

假設(shè)存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，則f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替換x，得f（x+T’）=f（x）

∴T’是f（x）的周期，但?T’<T*這與T*是f（x）的最小正周期矛盾。

∴不存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，即f（ax+b）的最小正周期為T*/?a。

定理3

設(shè)f（u）是定義在集M上的函數(shù)，u=g（x）是集M1上的周期函數(shù)，且當(dāng)X∈M1時，g（x）∈M，則復(fù)合函數(shù)f（g（x））是M1上的周期函數(shù)。

證：

設(shè)T是u=g（x）的周期，則?1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g（x）∴f（g（x+T））=f（g（x））

∴=f（g（x））是M1上的周期函數(shù)。

例1

設(shè)=f（u）=u2是非周期函數(shù)，u=?g（x）=cosx是實數(shù)集R上的周期函數(shù)，則f（g（x））=cos2x是R上的周期函數(shù)。

同理可得：⑴f（x）=Sin（cosx），⑵f（x）=Sin（tgx），⑶f（x）=Sin2x，⑷f（n）=Log2Sinx（sinx>0）也都是周期函數(shù)。

例2

f - n=Sinn是周期函數(shù)，n=g - x=ax+b - a≠0）是非周期函數(shù)，f - g - x=Sin - ax+b是周期函數(shù)（中學(xué)數(shù)學(xué)中已證）。

例3

f - n=cosn是周期函數(shù)，n=g - x=?（非周期函數(shù)）而f - g - x=cos?是非周期函數(shù)。

證：假設(shè)cos?是周期函數(shù)，則存在T>0使cos?（k∈Z）?與定義中T是與X無關(guān)的常數(shù)矛盾，

∴cos?不是周期函數(shù)。

由例2、例3說明，若f - u是周期函數(shù)，u=?g - X）是非周期函數(shù)，這時f - g - x））可能是，也可能不是周期函數(shù)。

定理4

設(shè)f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函數(shù)，T1、T2分別是它們的周期，若T1/T2∈Q則它們的和差與積也是M上的周期函數(shù)，T1與T2的公倍?數(shù)為它們的周期。

證：

設(shè)?（（p·q=1）設(shè)T=T1q=T2p，則有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1 - x+T?±f2（x+T）=?f1 - x+T1q?±f2（x+T2p）=?f1 - X）±f2 - X?，∴f1 - X?±f2 - X）是以T1和T2的公倍數(shù)T為周期的周期函數(shù)。同理可證：f1（x）、f2（x）是以T為周期的周期函數(shù)。

推論

設(shè)f1（x）?、f2（x）……fn（x）?是集合M上的有限個周期函數(shù)T1、T2……Tn分別是它們的周期，若，?…?（或T1，T2……Tn中任意兩個之比）都是有理數(shù)，則此n個函數(shù)之和、差、積也是M上的周期函數(shù)。

例1

f（x）=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍數(shù)2π為周期的周期函數(shù)。

例2

討論f - X=?的周期性。

解：2tg3?是以T1=?為最小正周期的周期函數(shù)。

5tg?是以T2?為最小正周期的周期函數(shù)。

tg2?是以T3=為最小正周期的周期函數(shù)。

又都是有理數(shù)

∴f（x）是以T1、T2、T3最小公倍數(shù)（T1、T2、T3）=為最小正周期的周期函數(shù)。

同理可證：

⑴f（x）=cos?；

⑵f（x）=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函數(shù)。

定理5

設(shè)f1（x）=sin?a1x，f2（x）=cos?a2x，則f1（x）與f2（x）之和、差、積是周期函數(shù)的充要條件是a1/a2∈Q。

證：

先證充分性：

若a1/a2∈Q，設(shè)T1、T2分別為f1（x）與f2（x）的最小正周期?，由定理4，可得f1（x）與f2（x）之和、差、積是周期函數(shù)。

再證必要性（僅就f1（x）與f2（x）的差和積加以證明）。

⑴設(shè)sina1x-cosa2x為周期函數(shù)，則必存在常數(shù)T>0，

使sina1（x+T）-sina1x=cosa2（x+T）-cosa2x?2cos（a1x+T）sin?=?-2sin（a2x+T）sin?⑴。

令x=?得2cos（a1x+T），則?（K∈Z）。⑵

或?C∈Z⑶

又在⑴中令?2sin（a2x+Tsin?=-2sin?=0

由⑷

由sin?⑸

由上述⑵與⑶，⑷與⑸都分別至少有一個成立。

由⑶、⑸得⑹

∴無論⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。

⑵設(shè)sinaxcosa2x為周期函數(shù)，則?是周期函數(shù)。?

判定方法

周期函數(shù)的判定方法分為以下幾步：

（1）判斷f（x）的定義域是否有界；

例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函數(shù)。

（2）根據(jù)定義討論函數(shù)的周期性可知非零實數(shù)T在關(guān)系式f（x+T）=?f（x）中是與x無關(guān)的，故討論時可通過解關(guān)于T的方程f（x+T）-?f（x）=0，若能解出與x無關(guān)的非零常數(shù)T便可斷定函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，若這樣的T不存在則f（x）為非周期函數(shù)。

例：f（x）=cosx^2?是非周期函數(shù)。

（3）一般用反證法證明。（若f（x）是周期函數(shù)，推出矛盾，從而得出f（x）是非周期函數(shù)）。

例：證f（x）=ax+b - a≠0）是非周期函數(shù)。

證：假設(shè)f（x）=ax+b是周期函數(shù)，則存在T（≠0），使之成立?，a（x+T）+b=ax+b?ax+aT-ax=0，aT=0?又a≠0，∴T=0與T≠0矛盾，∴f（x）是非周期函數(shù)。

例：證f（x）=?ax+b是非周期函數(shù)。

證：假設(shè)f（x）是周期函數(shù)，則必存在T（≠0）對?，有（x+T）=?f（x），當(dāng)x=0時，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T）?≠f（x）與f（x+T）=?f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函數(shù)。